Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C
Annahme: o.B.d.A. A = B
Beiweis:

Schritt	Begründung
$\mathrm{\exists }AB,BC,AC$	Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--Tutor Andreas Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
BC=AC	Annahme A=B
AB=A=B	Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--Tutor Andreas 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--RicRic 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
koll(A,B,C)	Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.

• Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --Spannagel 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear.
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B
Behauptung: koll (A,B,C) Beweis:

Schritt	Begründung
$\mathrm{\exists }AB,BC,AC$	Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--Tutor Andreas 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--RicRic 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
BC=AC	Voraussetzung A=B
AB=A=B	Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--Tutor Andreas 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
koll(A,B,C)	Axiom I/1

zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--LGDo12 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C) Beh: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\neqB“): {\displaystyle A\neqB\neqC\neqA} Ann: A=B o.B.d.A

Schritt	Begründung
A=B	Vor
$\mathrm{\exists }g:A,P\in g$	Axiom I/1
$A,B,C,P\in g$	(1),(2)
koll(A,B,C)	(3), Def koll

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C Beh: koll(A,B,C)

Schritt	Begründung
A=B=C	Vor
$\mathrm{\exists }g:A,P\in g$	Axiom I/1
$A,B,C,P\in g$	(1),(2)
koll(A,B,C)	(3), Def koll

--Mohnkuh 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)