Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium WS 11/12

Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten $a$ und $b$ kongruent zueinander:

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt $M$ der Dreiecksseite $c$.

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke $\overline{AMC}$ und $\overline{BMC}$ kongruent zueinander sind:

Nachweis von $\overline{AMC}\widetilde{=}\overline{BMC}$:

Nr.	Skizze	Beweisschritt	Begründung
(1)		$a\widetilde{=}b$	Voraussetzung
(2)		$\overline{AM}\widetilde{=}\overline{MB}$	$M$ ist Mittelpunkt von $c$
(3)		$\overline{MC}\widetilde{=}\overline{MC}$	trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
(4)		$\overline{AMC}\widetilde{=}\overline{BMC}$	(1), (2), (3), SSS

Wegen (4) gilt nun auch $\alpha \widetilde{=}\beta$.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum? WARUM???--Lottta 12:20, 19. Jan. 2012 (CET) aaah ok, weil für den Beweis von SSS der Basiswinkelsatz benötigt wird...

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.

Lemma 1

Die Winkelhalbierende $S{W}^{+}$ eines Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $P$.

Beweis von Lemma 1

später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.

Beweis des Basiswinkelsatzes

Das Mittelsenkrechtenkriterium

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Ein Punkt $P$ gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$, wenn $\overline{AP}\widetilde{=}\overline{BP}$ gilt.

Bezug zur Schule:

Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke $\overline{AB}$

gesucht: $m$ , die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Schrittnr.	Konstruktionsschritt
1.	Zeichne einen Kreis um $A$, dessen Radius $r$ länger als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist.
2.	Behalte $r$ bei und zeichne einen Kreis um $B$.
3.	Der Kreis um $A$ schneidet den Kreis um $B$ in den beiden Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$.
4.	Zeichne die Gerade $S_1{S}_2$. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$.

Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist $S_1{S}_2$ wirklich die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$gehört.)

Wenn ein Punkt $P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Beweis von Satz VII.6 a

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte $S_1$ und $S_2$ Punkte der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ sind.

Die Wahl des Radius $r$ der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für $|r|>\frac{1}{2}|\overline{AB}|$. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ zu den Punkten $A$ und $B$ jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ notwendigerweise zu $A$ und zu $B$ ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört)

Wenn ein Punkt $P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $A$ und $B$ ein und denselben Abstand.

Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:

Wir wissen, eine Implikation aus a folgt b bedeutet, dass a eine hinreichende Bedingung für b ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?

Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt $P$ zu zwei verschiedenen Punkten $A$ und $B$ ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass $P$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ liegt.

Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:

Wenn ein Punkt $P$ zu den Punkten $A$ und $B$ nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Beweis: Übungsaufgabe