Lösung von Aufgabe 3.4 S (SoSe 12)

Vorlage:Zitat wpde==Aufgabe 3.4== Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.
Beweis durch Widerspruch, d.h. $A\wedge \mathrm{\neg }B$ (Hilfe bei Formelschreibweise!) Vor.: |AC|< |BC| < |AB|
Beh.: |α| ≠ |β|
Annahme: |AC|< |BC| < |AB| und |α| = |β|
Beweis:
(1)Wenn |α| = |β|, dann ist |AC|= |BC| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes]
(2)|AC|= |BC| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d