Lösung von Aufgabe 4.5P (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /> | Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /> | ||
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /> | a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br /> | ||
Die Strecke AB geschnitten mit g ergibt eine leere Menge. --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 17:48, 10. Mai 2012 (CEST) | Die Strecke AB geschnitten mit g ergibt eine leere Menge. --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 17:48, 10. Mai 2012 (CEST)<br /> | ||
veranschaulicht: da die strecke zwischen a und b die gerade g nicht schneiden darf, müssen beide punkte auf einer seite der durch die gerade g geteilten ebene e liegen<br /> | |||
noch mehr veranschaulicht: die strecke ab darf keine "brücke" über die lücke (gerade g) der ebene bilden--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 01:02, 11. Mai 2012 (CEST) | |||
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /> | b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /> | ||
Version vom 10. Mai 2012, 23:02 Uhr
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation ( ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige gilt: .
a) Beschreiben Sie die Relation verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
Die Strecke AB geschnitten mit g ergibt eine leere Menge. --Malilglowka 17:48, 10. Mai 2012 (CEST)
veranschaulicht: da die strecke zwischen a und b die gerade g nicht schneiden darf, müssen beide punkte auf einer seite der durch die gerade g geteilten ebene e liegen
noch mehr veranschaulicht: die strecke ab darf keine "brücke" über die lücke (gerade g) der ebene bilden--Studentin 01:02, 11. Mai 2012 (CEST)
b) Begründen Sie anschaulich, dass eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
