Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> | Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> | ||
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | ||
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br /> | ||
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | |||
<math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | ||
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br /> | für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br /> | ||
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es ist gegeben, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br /> | es ist gegeben, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br /> | ||
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein. | da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein. | ||
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST) | --[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)<br /><br /> | ||
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | |||
die relation <math>\|| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST) | |||
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Version vom 11. Mai 2012, 07:39 Uhr
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
.
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun
1. die behauptung:
und
2. die annahme (gegenteil der behauptung):,
um sie zu einem widerspruch zu führen.
wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.
es ist gegeben, dass , beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
--Studentin 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
die relation ist transitiv.--Studentin 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)
