Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12)

Aufgabe 4.3

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösungsvorschlag 1:

1.) „Wenn $A$,$B$ und $C$ nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“

2.)
Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)

	Beweisschritt	Begründung
(1)	$\mathrm{nkoll}(A,B,C)$	Voraussetzung
(2)	oBdA: $A=B$ ; $A\ne C$	Annahme
(3)	$\mathrm{\exists }g:g=AC$	(2), Axiom I/1
(4)	$\mathrm{koll}(A,B,C)$	(3), Def. kollinear
(5)	Widerspruch zur Voraussetzung	(4), (1)
(6)	Behauptung stimmt	(5)

3.) „Wenn $A$,$B$ und $C$ nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“

5.) „Wenn $A$,$B$ und $C$ paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“ --Tchu Tcha Tcha 15:39, 13. Mai 2012 (CEST)