Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12)

Zusatzaufgabe 6.1

Es sei $g$ eine Gerade und $P$ ein Punkt, der nicht zu $g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\epsilon$, die sowohl alle Punkte von $g$ als auch den Punkt $P$ enthält.

Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut

Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.

Schritt	Warum darf ich den Schritt machen?
(1)Es existiert X,Y.X,Y Element g	I.2
(2)nkoll(X,Y,P)	(1), Vor.
(3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene	(2), I.4

Durch Axiom I.4 wären Existenz (Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene...) und Eindeutigkeit (... genau eine Ebene...) bewiesen.
--RitterSport 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte $X,Y,P$ in der Ebene $\epsilon$ liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden $g$ in $\epsilon$ liegen.

Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.(Meine Begründungen fallen etwas ausführlicher aus, weil viele Leser sicherlich die Axiome nicht im Kopf haben.)

Nr.	Schritt	Warum darf ich den Schritt machen?
(1)	$\mathrm{\exists }X,Y:X\in g\wedge Y\in g$	Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte.
(2)	$\mathrm{nkoll}(X,Y,P)$	Nach Voraussetzung gehört $P$ nicht zu $g$, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte $X$ und $Y$ jedoch zutrifft.
(3)	$\mathrm{\exists }\epsilon :X,Y,P\in \epsilon$	Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.
(4)	$g\subset \epsilon$	Axiom ...