Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 12

Verkettung von Abbildungen

Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen)

Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen ${\phi }_1..{\phi }_n$.
Schreibweise: ${\phi }_1\circ {\phi }_2\circ ...\circ {\phi }_n$.

Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: ${\phi }_1\circ {\phi }_2$ kann bedeuten, dass man zuerst ${\phi }_1$ und dann ${\phi }_2$ ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

Verkettung zweier Geradenspiegelungen

Gegeben seien zwei Geraden a und b. Wir betrachten die Verkettung $S_a\circ S_b$.
Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden a und b gibt es? Ihre Antwort:

Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie?

Sastz IX.1 :

Gegeben seien zwei Spiegelgeraden a und b mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S. Wir betrachten die Verkettung $S_a\circ S_b$. Jeder Punkt P liegt dabei mit seinem Bildpunkt $P^{″}=a\circ b(P)$ auf einem Kreis k um S.
Beweis:

Sastz IX.2 :

Gegeben seien zwei Spiegelgeraden a und b mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S, sowie zwei Punkten $A\in a$ und $B\in b$, die von S jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung $S_a\circ S_b$. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt $P^{″}=a\circ b(P)$ gilt: $\left|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}\right|=2\cdot \left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.
Beweis: