Lösung von Aufgabe 9.5 S

Satz:
Es sei $S{W}^{+}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$. Dann gilt:
$\left|\mathrm{\angle }ASW\right|=\left|\mathrm{\angle }WSB\right|=\frac{1}{2}\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$

Beweisen Sie den Satz.

Skizze:

Voraussetzung 1: $\mathrm{\angle }ASB$
Voraussetzung 2: $S{W}^{+}$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$
Behauptung: $\left|\mathrm{\angle }ASW\right|=\left|\mathrm{\angle }WSB\right|=\frac{1}{2}\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$

(1) Da nach Vor. $S{W}^{+}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ ist, gilt: $\left|\mathrm{\angle }ASW\right|=\left|\mathrm{\angle }WSB\right|$
(2) Nach Vor. und Def. Winkelhalbierende muss W im Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ liegen.
(3) Nun wissen wir nach dem Winkeladditionsaxiom und (1), dass gelten muss: $\left|\mathrm{\angle }ASW\right|+\left|\mathrm{\angle }WSB\right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.
(4) Nach (1) können wir (3) auch folgendermaßen schreiben: $\left|\mathrm{\angle }ASW\right|+\left|\mathrm{\angle }ASW\right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.
(5) Nach (4) und Rechnen in R folgt: $2\left|\mathrm{\angle }ASW\right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.
(6) Nach (5),(1) und Rechnen in R folgt: $\left|\mathrm{\angle }ASW\right|=\left|\mathrm{\angle }WSB\right|=\frac{1}{2}\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$
Behauptung stimmt.
qed --Tchu Tcha Tcha 18:57, 20. Jun. 2012 (CEST)