Lösung von Aufg. 10.3 S

Kopernikus / Just noch ein sailA

Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt $P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $A$ und $B$ ein und denselben Abstand.

Vor:
1. $MP$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

• Eine Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Gerade und kein Strahl. Deshalb $MP$ statt $M{P}^{+}$--Tutor Andreas 19:21, 1. Jul. 2012 (CEST)

2. $\overline{AB}$
3. $AB\perp M{P}^{+}$

Beh:
$\left|AP\right|=\left|PB\right|$

Schritt	Beweis	Begründung
1	$\left|AM\right|=\left|BM\right|$	Vor; Def. Mittelsenkrechte.
2	$\mathrm{\angle }AMP\widetilde{=}\mathrm{\angle }PMB$	Axiom IV.4, Def. V.7
3	$\left|MP\right|=\left|MP\right|$	trivial
4	$\mathrm{\angle }AMP\widetilde{=}\mathrm{\angle }PMB$	Axiom V, SWS
5	$\left|AP\right|=\left|PB\right|$

--Kopernikus 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST)
--Just noch ein sailA 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST)


Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
Vor.: $P\in m_{A}B$
Beh.: $\left|PA\right|=\left|PB\right|$

(1) $\left|AM\right|kongruent\left|MB\right|$ // Vor., Def. Mittelsenkrechte
(2) $\left|MP\right|=\left|MP\right|$ // trivial
(3) $\left|\mathrm{\angle }AMP\right|=\left|\mathrm{\angle }BMP\right|$ // Vor., Def. Mittelsenkrechte
(4) $\overline{AMP}=\overline{BMP}//(1-3),SWS$
(5) $\left|PA\right|=\left|PB\right|$ // (4), Dreieckskongruenz
qed
--Tchu Tcha Tcha 12:24, 30. Jun. 2012 (CEST)

Lösungsversuch schokomuffin

Vor$P\in m$ : m = Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Beh: $\left|PA\right|=\left|PB\right|$

(1) $\mathrm{\exists }M\in \overline{AB}:\left|AM\right|=\left|MB\right|$ // Ex.Eind. Mittelpunkt, Ax II.2

(2) $\overline{PM}$ // Vor

(3) $\overline{AP}$ // Ax. vom Lineal

(4) $\overline{BP}$ // Ax. vom Lineal

(5) $\overline{PM}=\overline{MP}$ // trivial

(6) $\left|\mathrm{\angle }BMP\right|=\left|\mathrm{\angle }AMP\right|$ // Der. RW, NW, Vor

(7) $\overline{AMP}\widetilde{=}\overline{BMP}$ // SWS (1), (5), (6)

(8) $\left|AP\right|=\left|BP\right|$ // Def. Dreieckskongurenz, (7)

--schokomuffin 14:23, 01. Jul. 2012 (CEST)