Serie 03 12 13

Aufgabe 3.1

Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:

(a) Was muss für $R$ (Radius des großen, festen Kreises), $r$ (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und $d$ (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt $M_k$ des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?

(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich $M_k$ der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel $\phi$, dessen Schenkel die positive $x-$Achse und der Strahl $M{M}_k^{+}$ sind.

(c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem $K{S}^{\prime }$derart mitgeführt wird, dass die Achsen von $K{S}^{\prime }$ immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von $K{S}^{\prime }$ sei $M_k$:

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt $P$ bezüglich $K{S}^{\prime }$ beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge $\psi$die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist.

(d) Drücken Sie $\psi$ mittels $\phi$ aus.

(e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide $a$ an.

(f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an.