Vektorräume 2012 13

Definition des Begriff des Vektorraums

Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung

$+:V\times V\to V$, $(v,v)\mapsto v+v$

und der äußeren Verknüpfung

$\cdot :\mathbb{ℝ}\times V\to V$, $(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v$

heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

A1: Für beliebige $u,v\in V$ gilt $u+v=v+u$ (Kommuntativität der Addition).

A2: Für beliebige $u,v.w\in V$ gilt $(u+v)+w=u+(v+w)$. (Assoziativität der Addition)

A3: Es gibt ein neutrales Element

$e\in V$

, mit dem für alle Elemente

$u\in V$

gilt:

$u\cdot e=e\cdot u=u$

. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor) //

Ist das nicht bezüglich der Addition: also: u+e=e+u=u?

A4: Zu jeden

$u\in V$

existiert ein Gegenvektor

$-u\in V$

mit

$u+(-u)=e$

S1: Für beliebige $v\in V$ gilt $1\cdot u=u$.

S2: Für beliebige $v\in V$ und beliebige $\lambda ,\mu \in \mathbb{ℝ}$ gilt: $(\lambda \cdot \mu )\cdot u=\lambda \cdot (\mu \cdot u)$ (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

S3: Für beliebige $u,v\in V$ und beliebige $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ gilt: $\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$ (1.Distributivgesetz)

S4: Für beliebige $v\in V$ und beliebige $\lambda ,\mu \in \mathbb{ℝ}$ gilt: $(\lambda +\mu )\cdot u=\lambda \cdot u+\mu \cdot u$ (2.Distributivgesetz)

Bemerkung:

Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass $(V,+)$ eine Abelsche Gruppe bildet.

Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.

(Quelle: Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag)