Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br />
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br />
*<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br />
*<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br />
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.<br /><br />
==Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats==
Hierbei verstehen wir unter <math>D_D</math> die Menge aller Drehungen die das Quadrat <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden:<br />
<math>D_D:=\left\{D_{0}, D_{90}, D_{180}, D_{270}\right\}</math><br /><br />
Die Verknüpfung sei die NAF.<br /><br />
Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br />
[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.3JPG.JPG| 200px]]<br /><br />
Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine cyklische Gruppe.<br /><br />
==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks==
==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks==
[[Bild:Decvkabbildungen_Rechteck.png| 300px]]<br />
[[Bild:Decvkabbildungen_Rechteck.png| 300px]]<br />
Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br />
Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br />
<math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br /><br />
<math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br /><br />
Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br />
Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br />
[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.4.JPG]]
[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.4.JPG| 200px]]




Version vom 11. Dezember 2012, 15:17 Uhr


Beispiele für endliche Gruppen

Restklassen modulo 4

ℤ4:={0‾,1‾,2‾,3‾}
mit
0‾:={...,−8,−4,0,4,8,...} (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
1‾:={...,−7,−3,1,5,9,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
2‾:={...,−6,−2,2,6,10,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
3‾:={...,−5,−1,3,7,11,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),

Wir definieren auf ℤ4 eine Verknüpfung ⊕ wie folgt:
∀a‾,b‾∈ℤ4:a‾⊕b‾:=a+b‾

Die Struktur (ℤ4,⊕) ist eine Gruppe:

  1. Die Verknüpfung ⊕ ist auf der Menge ℤ4 abgeschlossen, d.h. ∀a‾,b‾∈ℤ4:a‾⊕b‾∈ℤ4,
  2. Die Verknüpfung ⊕ ist auf der Menge ℤ4 assoziativ, d.h. ∀a‾,b‾,c‾∈ℤ4:(a‾⊕b‾)⊕c‾=a‾⊕(b‾⊕c‾),
  3. ℤ4 hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse 0‾, d.h. ∀a‾∈ℤ4:a‾⊕0‾=0‾⊕a‾=a‾,
  4. Zu jedem Element aus ℤ4 gibt es ein inverses Element, d.h. ∀a‾∈ℤ4∃(−a‾):a‾⊕(−a‾)=(−a‾)⊕a‾=0‾.

Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:

GeoGebra


Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.

Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe (ℤ4,⊕):
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung ⊕ auf ℤ4 kommutativ ist:

  • ∀a‾,b‾∈ℤ4:a‾⊕b‾=b‾⊕a‾.

Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.

Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats

Hierbei verstehen wir unter DD die Menge aller Drehungen die das Quadrat ABCD‾ auf sich selbst abbilden:
DD:={D0,D90,D180,D270}

Die Verknüpfung sei die NAF.

Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine cyklische Gruppe.

Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Unter DR wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck ABCD‾ auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum Z) und Geradenspiegelungen:
DR:={D0,D180,Sm,Sn}

Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

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