Erzeugendensystem 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Def.(Erzeugendensystem)'''<br />
'''Def.(Erzeugendensystem)'''<br />
Eine Menge von Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist.<br />
Eine Menge von Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist.<br />
Das heißt, wenn man mit den Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ein Erzeugendensystem von V.<br /><br />
Das heißt, wenn man mit den Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ein Erzeugendensystem von V.<br />
Die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> kann linear abhängig sein.<br /><br />
'''Def.(Basis)'''<br />
'''Def.(Basis)'''<br />
Eine Basis des Vektorraumes V ist ein minimales Erzeugendensystem.<br />
Eine Basis des Vektorraumes V ist ein minimales Erzeugendensystem.<br />

Version vom 18. Januar 2013, 16:14 Uhr

Beispiel 1

GeoGebra



Experimentieren Sie: Wann ist die Menge Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \left{\vec{a}, \vec{b}\right}} ein Erzeugendensystem für den ℝ2 bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf)

Beispiel 2

GeoGebra


Erzeugendensystem, Basis und Hülle

Def.(lineare Hülle)
Lineare Hülle der Vektoren a1→,a2→,...,an→ ist die Menge der Linearkombinationen von a1→,a2→,...,an→
Das bedeutet, die lineare Hülle der Vektoren a1→,a2→,...,an→ enthält alle Vektoren, die man mithilfe der Vektoren a1→,a2→,...,an→ darstellen kann.

Def.(Erzeugendensystem)
Eine Menge von Vektoren a1→,a2→,...,an→ ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von a1→,a2→,...,an→ ist.
Das heißt, wenn man mit den Vektoren a1→,a2→,...,an→ alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren a1→,a2→,...,an→ ein Erzeugendensystem von V.
Die Menge der Vektoren a1→,a2→,...,an→ kann linear abhängig sein.

Def.(Basis)
Eine Basis des Vektorraumes V ist ein minimales Erzeugendensystem.
Das bedeutet, dass die Menge der Vektoren, welche das Erzeugendensystem bilden linear unabhängig ist.

--Jessy* 17:12, 18. Jan. 2013 (CET)

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