Übungen 08

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Koordinaten des Vekotrs Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \vec{x}=\begin{pmatrix} 19 \\ 5 \\ -17 \end{pmatrix}\} bezüglich des Erzeugendensystem $E=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -6\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ 7\end{array}\right)\}$

Aufgabe 2

Wir betrachten in ${\mathbb{ℝ}}^2$ die drei Unterräume

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle U_1 = \left\langle \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \right\rangle\} , $U_2=⟨\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\right\}⟩$ und $U_3=⟨\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\right\}⟩$.

Welche der folgenden Aussagen ist (sind) richtig?

1. Es ist $\left\{\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\end{array}\right)\right\}$ ein Erzeugendensystem von $U_1\cap U_2$.
2. Es ist $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)\right\}$ eine linear unabhängige Teilmenge von $U_2$.
3. Es gilt $⟨U_1\cup U_3⟩={\mathbb{ℝ}}^2$.

Aufgabe 3

Überprüfen Sie, pb die folgenden 2x2-Matrizen als Linearkombinationen der Matrizen $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ darstellbar sind.

a) $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$
b) $\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& 5\end{array}\right)$

Aufgabe 4

Geben Sie zu folgenden Polynomen die Koordinaten bezüglich folgendem Erzeugendensystems $E=\{p_1(x)=x^2,p_2(x)=x+1,p_3(x)=x^2+x\}$ an.

a) $q_1(x)=x^2+5x+3$
b)$q_2(x)=(x-3{)}^2$
c)$x^2-5$