Lösung von Aufgabe 11.09 SoSe 13

Lösung IIIu13

Gegeben seien der Winkel $\alpha =\mathrm{\angle }ASB$, die Winkelhalbierende w von $\alpha$ und der Punkt P mit $\overline{PA}\widetilde{=}\overline{PB}$

z.z.: P $\in$ w

Beweis:

1) $\overline{PA}\widetilde{=}\overline{PB}$ ; (>Voraussetzung)

2) $\overline{PS}\widetilde{=}\overline{PS}$ ; (>trivial)

3) Sei m die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ und M der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ ; (>Existenz der Mittelsenkrechten)

4) $P\in m$ ; (>Def. Mittelsenkrechte, (1))

5) $\mathrm{\angle }PBM\widetilde{=}\mathrm{\angle }PAM$ ; (>(1),Basiswinkelsatz)

6) $\overline{AM}\widetilde{=}\overline{MB}$ ; (>(3))

7) $\overline{MPB}\widetilde{=}\overline{MPA}$ ; (>(1),(5),(6),sws)

8) $\mathrm{\angle }APM\widetilde{=}\mathrm{\angle }BPM$; (>(7))

9) $\overline{SBP}\widetilde{=}\overline{SAP}$ ; (>(1),(8),(2),sws)

10) $\mathrm{\angle }ASP\widetilde{=}\mathrm{\angle }BSP$; (>(9))

11) $S{P}^{+}$ ist die Winkelhalbierende w; (>(10), Def. und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

12) $P\in w$; (>(11))

Muss ich hier explizit sagen, dass P im Inneren vom Winkel liegt? Darf ich das voraussetzen oder muss ich eine Fallunterscheidung machen?

--Illu13 23:02, 10. Jul. 2013 (CEST)

Bemerkung --*m.g.* 10:12, 11. Jul. 2013 (CEST)

Wir gehen davon aus, das $P$ zu den Schenkeln von $\alpha =\mathrm{\angle }ASB$ ein und denselben Abstand hat. Das bedeutet nicht, dass $\overline{PA}\widetilde{=}\overline{PB}$ gilt.

Bemerkung --Illu13 19:54, 11. Jul. 2013 (CEST)

Ich habe A und B gleich so gewählt, dass sie die Lotfußpunkte von P zu den Schenkeln sind. Darf ich den Beweis auf diese Art führen, wenn ich statt A und B die Lotfußpunkte L und U wähle, die nicht identisch mit A und B sind?

Bemerkung --*m.g.* 07:54, 13. Jul. 2013 (CEST)

Es bleibt ein grundlegender Denkfehler: Sie unterstellen letztlich (auch wenn sie das nicht explizit sagen), dass die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ durch den Punkt $S$ geht. Das dürften Sie, wenn Sie wüssten, dass $\overline{SA}\widetilde{=}\overline{SB}$ gilt.