Lösung von Aufgabe 10.5

Satz VI.1/2: Es sei $S{W}^{+}$ eine Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$.
Dann gilt: $|\mathrm{\angle }ASW|=|\mathrm{\angle }WSB|=1/2|\mathrm{\angle }ASB|$

Beweis Versuch 1:

VSS: $S{W}^{+}$ eine Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$
Beh: $|\mathrm{\angle }ASW|=|\mathrm{\angle }WSB|=1/2|\mathrm{\angle }ASB|$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$S{W}^{+}$ eine Winkelhalbierende von $\mathrm{\angle }ASB$	(VSS)
(II)	$|\mathrm{\angle }ASW|+|\mathrm{\angle }WSB|=|\mathrm{\angle }ASB|$	Winkeladditionsaxiom, W liegt im Innern von $\mathrm{\angle }ASB$
(III)	$|\mathrm{\angle }ASW|=|\mathrm{\angle }WSB|$	(I), Def. Winkelhalbierende
(IV)	$|\mathrm{\angle }ASW|+|\mathrm{\angle }ASW|=|\mathrm{\angle }ASB|$	(II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
(V)	$2|\mathrm{\angle }ASW|=|\mathrm{\angle }ASB|$ --> $|\mathrm{\angle }ASW|=1/2|\mathrm{\angle }ASB|$	(IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
(VI)	$|\mathrm{\angle }ASW|=|\mathrm{\angle }WSB|=1/2|\mathrm{\angle }ASB|$	(III), (V)

qed --Löwenzahn 17:51, 1. Jul. 2010 (UTC)

Das war ja jetzt der Beweis für die Existenz, fehlt jetzt noch einer für die Eindeutigkeit!? Wenn ja, wie sähe der dann aus!? Reicht dafür das Winkelkonstruktionsaxiom!? --TimoRR 17:00, 6. Jul. 2010 (UTC)

Bei dem Satz wird nicht zwischen Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden unterschieden. Das kommt doch nur vor, wenn "genau" im Satz steht. Kann es sein dass du den Satz: "Jeder Winkel hat genau eine Winkelhalbierende" meinst? Da muss man dann nämlich Existenz und Eindeutigkeit beweisen. Hier ist nur gezeigt, dass bei einer Winkelhalbierenden (VSS) die Winkel, die durch die Winkelhalbierenden entstehen gleichgroß sind und diese das halbe Maß des Gesamtwinkel (Beh) haben. --Löwenzahn 17:56, 6. Jul. 2010 (UTC)