Lösung von Aufgabe 1.3 (WS 16 17)

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen. Stellen Sie die Teilmengenbeziehungen in einem Venn.Diagramm dar.

$M_1:$ Menge aller gleichschenkligen Dreiecke

$M_2:$ Menge aller gleichseitigen Dreiecke

$M_3:$ Menge aller gleichwinkligen Dreiecke

<popup name="Lösung von AlanTu"> $M_2=M_3\subset M_1$

$\text{Dreieck ist gleichseitig}⟺\text{Dreieck ist gleichwinklig}\Rightarrow \text{Dreieck ist gleichschenklig}$

Beweis Dreieck ist gleichwinklig ⇒ Dreieck ist gleichseitig

Nach dem Innenwinkelsatz müssen alle drei Innenwinkel addiert $180^{\circ }$ ergeben. Daraus folgt, dass jeder Winkel in einem gleichwinkligen Dreieck $\frac{180^{\circ }}{3}=60^{\circ }$ beträgt. Nun kann man nachweisen, dass die Seiten gleich lang sind, indem man im Dreieck $ABC$ die Höhe $h_c$ über $AB$ einträgt. Die Strecke zwischen dem Lotfußpunkt und $A$ wird $d$ genannt, die Strecke zwischen Lotfußpunkt und $B$ wird $e$ genannt. Nun gilt $tan(60^{\circ })=\frac{h_c}{d}=\frac{h_c}{e}\Rightarrow d=e$. Dann gilt also auch $cos(60^{\circ })=\frac{d}{\overline{AC}}\wedge cos(60^{\circ })=\frac{e}{\overline{BC}}⟺\frac{1}{2}=\frac{d}{\overline{AC}}\wedge \frac{1}{2}=\frac{e}{\overline{BC}}⟺2d=\overline{AC}\wedge 2e=\overline{BC}⟺d+e=\overline{AC}\wedge d+e=\overline{BC}⟺\overline{AB}=\overline{AC}\wedge \overline{AB}=\overline{BC}$.

Beweis Dreieck ist gleichseitig ⇒ Dreieck ist gleichwinklig

Man betrachte wieder die Höhe $h_c$ über der Seite $AB$. Dann gilt in dem Dreieck $sin(\alpha )=\frac{h_c}{\overline{AC}}\wedge sin(\beta )=\frac{h_c}{\overline{BC}}⟺sin(\alpha )=\frac{h_c}{\overline{AC}}\wedge sin(\beta )=\frac{h_c}{\overline{AC}}⟺sin(\alpha )=sin(\beta )$. Da sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ zwischen $0^{\circ }\text{ und }90^{\circ }$ liegen (in einem rechtwinkligen Dreieck sind alle Winkel $\le 90^{\circ }\text{ und }\ge 0^{\circ }$), kann man daraus schließen, dass $\alpha =\beta$ gilt. Wenn man dieses Vorgehen für alle drei Höhen wiederholt, kann man also zeigen, dass $\alpha =\beta =\gamma$ im gleichseitigen Dreieck gilt.

Beweis Dreieck ist gleichseitig ⇒ Dreieck ist gleichschenklig

Ein gleichseitiges Dreieck ist per definitionem immer auch gleichschenklig. Ein gleichseitiges Dreieck hat nämlich drei gleich lange Seiten, ein gleichschenkliges erfordert nur zwei.

Venn-Diagramm

(Die Schwarzfärbung von Teilmengen bedeutet, dass diese Teilmengen keine Elemente enthalten, also leere Mengen ($\mathrm{\varnothing }$) sind.) </popup>--AlanTu (Diskussion) 15:24, 21. Okt. 2016 (CEST)