Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 16 17)

Geben Sie eine andere Schreibweise der folgenden Mengen an und prüfen Sie, welche Mengen identisch sind.

$M_1=\{x|x\in \mathbb{\mathbb{N}}\wedge x+2=0\}$

$M_2=\{x|x\in \mathbb{ℝ}\wedge x^2+2=0\}$

$M_3=\{x|x\in \mathbb{\mathbb{Z}}\wedge x+2=0\}$

$M_4=\{x|x\in \mathbb{\mathbb{Q}}\wedge x^2-2=0\}$

$M_5=\{x|x\in \mathbb{ℝ}\wedge x^2-2=0\}$

$M_6=\{x|x\in \mathbb{ℝ}\wedge (x+2{)}^2=0\}$

<popup name="Lösung von AlanTu"> $\begin{array}{rlrlr}& & x+2& =0& \Vert -2\\ ⟺& & x& =-2\end{array}$

$\Rightarrow M_1=\{x|x\in \mathbb{\mathbb{N}}\wedge x=-2\}=\mathrm{\varnothing }$        (da $-2\notin \mathbb{\mathbb{N}}$)

---

$\begin{array}{rlrlr}& & x^2+2& =0& \Vert -2\\ ⟺& & x^2& =-2& \Vert \sqrt{}\\ ⟺& & x& =\pm i\sqrt{2}\end{array}$

$\Rightarrow M_2=\{x|x\in \mathbb{ℝ}\wedge x=\pm \sqrt{2}\cdot i\}=\mathrm{\varnothing }$        (da $\pm \sqrt{2}\cdot i\notin \mathbb{ℝ}$)

---

$\begin{array}{rlrlr}& & x+2& =0& \Vert -2\\ ⟺& & x& =-2\end{array}$

$\Rightarrow M_3=\{x|x\in \mathbb{\mathbb{Z}}\wedge x=-2\}=\{-2\}$        (da $-2\in \mathbb{\mathbb{Z}}$)

---

$\begin{array}{rlrlr}& & x^2-2& =0& \Vert +2\\ ⟺& & x^2& =2& \Vert \sqrt{}\\ ⟺& & x& =\pm \sqrt{2}\end{array}$

$\Rightarrow M_4=\{x|x\in \mathbb{\mathbb{Q}}\wedge x=\pm \sqrt{2}\}=\mathrm{\varnothing }$        (da $\pm \sqrt{2}\notin \mathbb{\mathbb{Q}}$)

---

$\begin{array}{rlrlr}& & x^2-2& =0& \Vert +2\\ ⟺& & x^2& =2& \Vert \sqrt{}\\ ⟺& & x& =\pm \sqrt{2}\end{array}$

$\Rightarrow M_5=\{x|x\in \mathbb{ℝ}\wedge x=\pm \sqrt{2}\}=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}$        (da $\pm \sqrt{2}\in \mathbb{ℝ}$)

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$\begin{array}{rlrlr}& & (x+2{)}^2& =0& \Vert \sqrt{}\\ ⟺& & x+2& =0& \Vert -2\\ ⟺& & x& =-2\end{array}$

$\Rightarrow M_6=\{x|x\in \mathbb{ℝ}\wedge x=-2\}=\{-2\}$        (da $-2\in \mathbb{ℝ}$)

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$\Rightarrow M_1=M_2=M_4\text{ und }{M}_3=M_6$ </popup>--AlanTu (Diskussion) 23:53, 20. Okt. 2016 (CEST)

<popup name="Lösung von AJWeber"> </popup>--AJWeber (Diskussion) 17:59, 21. Okt. 2016 (CEST)