Lösung von Aufgabe 13.2P (WS 16/17)

Dargestellt ist hier die Nacheinanderausführung zweier Abbildungen ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$, mit ${\phi }_1\left(\overline{ABC}\right)=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ und ${\phi }_2\left(\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\overline{A^{″}{B}^{″}{C}^{″}}$.
Hinweis: Der Punkt E hat eine besondere Bedeutung für ${\phi }_2$.
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1. Um welche Arten von Abbildungen handelt es sich bei ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$?
2. Zeichnen Sie jeweils für ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$ die passende Anzahl von Spiegelachsen in die Skizze ein.
3. Wir betrachten nun die Verkettung ${\phi }_1\circ {\phi }_2$. Durch welche Ersatzabbildung kann diese Verkettung ${\phi }_1\circ {\phi }_2$ ersetzt werden? (Begründen Sie Ihre Entscheidung).
4. Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.

Lösung von AlanTu

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1. ${\phi }_1$ ist eine Translation, ${\phi }_2$ eine Drehung

2. Die roten Geraden

$s_1:x=3$

und

$s_2:x=5$

bilden

${\phi }_1$

, die grünen Geraden

$s_3:y=x$

und

$s_4:y=3$

bilden

${\phi }_2$

(Die Spiegelachsen sind zur besseren Anschauung mit der Maus verschiebbar)

3. Da ${\phi }_1$ eine Translation ist, kann man die beiden Spiegelachsen $s_1$ und $s_2$ um 2 nach links verschieben, ohne die Abbildung zu verändern. Und da ${\phi }_2$ eine Drehung ist, können die beiden Spiegelachsen $s_3$ und $s_4$ um 45° gegen den Uhrzeigersinn (im „mathematischen Uhrzeigersinn“) gedreht werden ohne die Abbildung zu verändern. Da dann $s_2$ und $s_3$ deckungsgleich sind und die Spiegelungen an den beiden Achsen direkt nacheinander ausgeführt werden, heben sich die beiden Spiegelungen auf.

4. Somit kann man die Geraden

${s_1}^{\prime }:x=1$

und

${s_4}^{\prime }:y=x$

als Spiegelachsen für die Ersatzabbildung heranziehen. Das entspricht einer Drehung um 90° entgegen dem mathematischen Drehsinn um den Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen

$F(1,1)$

--AlanTu (Diskussion) 00:29, 25. Jan. 2017 (CET)

Hallo AlanTu,

hier ein paar Anmerkungen zu deiner Lösung.

Zu Aufgabe 1) korrekt, die Drehung ${\phi }_2$ würde ich genauer beschreiben.
Zu Aufgabe 2) passt, GeoGebra-Applikation hervorragend ;)
Zu Aufgabe 3) sehr schön begründet, jetzt können wir das noch mathematisch formulieren und beweisen.
Zu Aufgabe 4) richtig, GeoGebra-Applikation hervorragend ;)

Weiter so!

Gruß --Tutor: Alex (Diskussion) 21:56, 25. Jan. 2017 (CET)