Lösung von Aufgabe 13.3P (WS 16/17)

Das Dreieck $\overline{ABC}$ wird an Punkt D um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie!

Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link den Servercache leeren.

Lösung von AlanTu

Hier schonmal das Geogebra-Applet:

Beschreibung liefere ich nach, nur schonmal so viel: $S_a\circ S_b$ beschreibt die erste Abbildung (die Drehung), $S_b\circ S_c$ beschreibt die zweite Abbildung (die Translation).

Konstruktion der Lösung

• Fälle das Lot vom Drehpunkt $D$ auf die Gerade $C^{\prime }{C}^{″}$, nenne das Lot $b$
• Trage von einem beliebigen Punkt auf $b$ aus $\frac{1}{2}u$ ab, konstruiere durch den neu erhaltenen Punkt eine Parallele $c$ zu $b$
• Drehe $b$ um 45° gegen den mathematischen Drehsinn um den Drehpunkt $D$ (da das Dreieck um 90°, also das doppelte Winkelmaß, in die Gegenrichtung gedreht wurde)

Nun gilt: Die erste Abbildung ${\phi }_1=S_a\circ S_b$ und die zweite Abbildung ${\phi }_2=S_b\circ S_c$ ergeben verkettet ${\phi }_1\circ {\phi }_2=(S_a\circ S_b)\circ (S_b\circ S_c)=S_a\circ \underset{\text{Identität}}{\underbrace{S_b\circ S_b}}\circ S_c=S_a\circ S_c$. Die Verkettung der beiden Abbildung ist also nichts anderes als eine Spiegelung an $a$ und $c$, oder anders ausgedrückt: Es ist eine Drehung um 90° im mathematischen Drehsinn um den Schnittpunkt von $a$ und $c$, der somit Fixpunkt dieser Abbildung ist. --AlanTu (Diskussion) 19:54, 4. Feb. 2017 (CET)

Hallo AlanTu,

deine GeoGebra Applikation sieht super aus. Deine Konstruktion der Lösung ist korrekt und ergänzt die Skizze ;)

Gruß --Tutor: Alex (Diskussion) 15:57, 8. Feb. 2017 (CET)