Elementare Funktionen

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe	$ ~~~h_{0} $
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag)	$ ~~~v_{0} $
Abwurfwinkel	$ ~~~\alpha $

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
$ v_{x}=v_{0}\cdot \cos \alpha \Rightarrow x=v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t $

y-Komponente

Es addieren sich:

1. y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: $ v_{y}=v_{0}\cdot \sin \alpha \Rightarrow y_{w}=v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t $
2. Fallbewegung nach unten: $ y_{f}={\frac {g}{2}}t^{2} $
3. Damit $ y=v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2} $
4. Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: $ P(t)={\begin{pmatrix}v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2}\\v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t\end{pmatrix}} $

Experimentierumgebung

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Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe $ h_{0} $ bei $ x=18m $ auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) $ P(t)={\begin{pmatrix}v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2}\\v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t\end{pmatrix}} $ eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) $ y=ax^{2}+bx+c $. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

$ M\times N:=\{(a,b)|a\in M,b\in N\} $
$ y=x^{2} $

Funktionen als spezielle Relationen

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Linkstotal

$ \forall a\in A:\exists b\in B:(a,b)\in R $

Rechtseindeutig

$ \forall a\in A:\forall b_{1},b_{2}\in B:(a,b_{1})\in R\wedge (a,b_{2})\in R\Rightarrow b_{1}=b_{2} $

Lineare Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

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• Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
• Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
• Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.

Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte $ (x_{1},f(x_{1})) $ und $ (x_{2},f(x_{2})) $ wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.

Gegeben seien zwei Punkte:

$ P_{1}(x_{1},f(x_{1})) $ und $ P_{2}(x_{2},f(x_{2})) $

$ a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}} $

$ a={\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}} $

$ {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}} $ | $ \cdot {(x-x_{1})} $ $ +f(x_{1}) $

$ f(x)={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {(x-x_{1})}+f(x_{1}) $

$ f(x)={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {x}-{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {x_{1}}+f(x_{1}) $

$ {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {x} $ → a

$ -{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {x_{1}}+f(x_{1}) $ → dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.

Somit ergibt sich: $ f(x)=a\cdot {x}-b $

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Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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Spezielle Funktionswerte

α	0°	30°	45°	60°	90°
sin α	0	$ {\frac {1}{2}} $	$ {\frac {1}{2}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {2}} $	$ {\frac {1}{2}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {3}} $	1
cos α	1	$ {\frac {1}{2}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {3}} $	$ {\frac {1}{2}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {2}} $	$ {\frac {1}{2}} $	0
tan α	0	$ {\frac {1}{3}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {3}} $	1	$ {\sqrt {3}} $	-

60°

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Erstellt mit Geogebra

Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte.