Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 17)

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.

Ich habe folgende Hypothese aufgestellt, weiß allerdings noch nicht, wie ich sie mathematisch umformuliere: Ich bezeichne als n die ungeraden Zahlen und damit als n+1 die geraden. A: n+1 B: b²= n+1 (b könnte n oder n+1 sein-> also gerade ungerade) Aber: habe festgestellt, dass jede Zahl die ungerade ist, auch deren Quadrat ungerade ist und jede Zahl, die gerade ist, auch deren Quadrat gerade ist) -> somit wäre für mich b nur n+1

Also wären A und B gleiche Mengen -> A=B

Hallo Kissa052,

deine Schlussfolgerung, dass $A=B$ ist, ist vollkommen richtig, jetzt müssen wir das nur noch mathematisch aufschreiben.
Schreibe für eine gerade Zahl $k:k=2*n$  und für eine ungerade Zahl $l:l=2*n+1$ mit $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$. 

Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist dann also $A=\{2,4,6,...\}=\{k|k=2*nmitn\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$. (bei der Null können wir uns streiten ;P )

Quadriert man eine gerade Zahl, so erhält man wieder eine gerade Zahl, das kann man so zeigen: $k^2=(2*n{)}^2=4*n^2=2*(2*n^2)$. 
Es sei $m=2*n^2$ , somit gilt: $k^2=2*m$ , wobei auch $m\in \mathbb{\mathbb{N}}$ .

Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Quadrate ungerader Zahlen wieder ungerade, kannst du das auf $l$ anwenden? (geht so ähnlich wie oben)

So ist also die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade sind $B=\{2,4,6,...\}=\{x|x^{2}istgerade\wedge x\in \mathbb{\mathbb{N}}\}=\{x|x^2=2*nmitn\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$ . 
Somit gilt für die Mengen $A=B$ 


--Tutor: Alex (Diskussion) 16:43, 31. Mai 2017 (CEST)