Serie 8 SoSe 2017

Aufgabe 8.01 Wenn der Mathematiker von einer Fahne spricht, dann meint er ein Element aus der Menge $\mathbb{𝔽}$, die aus allen Tripeln $(A|AB|AB,Q^{+})$ mit $\mathrm{nKoll}(A,B,Q)$ besteht. Aus was für drei geometrischen Objekten besteht jede Fahne? Ikonisieren Sie den Begriff der Fahne. Erläutern Sie wie der Begriff der Fahne auf enaktiver Ebene mit Schülern der SI erarbeitet werden könnte. Lösung Aufgabe 8.01 SoSe 2017 Aufgabe 8.02 Die Definition des Begriffs entsprechend Aufgabe 8.01 entspricht der üblichen Vorstellung der Mathematiker von einer Fahne. Am 13.06.2013 fand an der PH Heidelberg eine Geometrieübung statt, in der der Begriff der Fahne durch den Dozenten M.G. unzulässig modifiziert wurde. Er passte den Begriff der Fahne der üblichen Vorstellung einer Fahne an: Gerade mit einer an ihr befestigten Viertelebene. Wir wollen diesen Begriff ab sofort offiziell als Heidelberger Übungsfahnebezeichnen. Hier eine Ikoniserung des Begriffs Heidelberger Übungsfahne. Die Darstellung ist so zu verstehen, dass die Vereinigungsmenge aller grafisch dargestellten Objekte eine Heidelberger Übungsfahne darstellt. Die Schraffur meint dabei den Teil einer Ebene. Formulieren Sie eine Definition des Begriffs Heidelberger Übungsfahne. Mit der Formulierung der vorliegenden Aufgabe zeigt der Autor (M.G.) mangelnde mathematikdidaktische Kenntnisse. Warum? Insbesondere ist die ikonische Darstellung der Heidelberger Übungsfahne bezüglich der Aufgabenstellung ungünstig. Warum? Lösung Aufgabe 8.02 SoSe 2017 Aufgabe 8.03 Was haben Halbgeraden und Halbebenen gemeinsam? Ergänzen Sie: Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt. Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt. Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt. Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt. Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... . Lösung Aufgabe 8.03 SoSe 2017 Aufgabe 8.04 Beweisen Sie mittels eines direkten Beweises: Wenn zwei Mengen $M_1$ und $M_2$ konvex sind, dann ist auch ihre Schnittmenge konvex. Lösung Aufgabe 8.04 SoSe 2017 Aufgabe 8.05 Beweisen Sie mittels eines indirekten Beweises: Wenn zwei Mengen $M_1$ und $M_2$ konvex sind, dann ist auch ihre Schnittmenge konvex. Lösung Aufgabe 8.05 SoSe 2017 Aufgabe 8.06 Formulieren Sie die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 8.05 und untersuchen Sie den Wahrheitswert dieser Umkehrung. Lösung Aufgabe 8.06 SoSe 2017 Aufgabe 8.07 Es sei $\overline{ABCD}$ ein konvexes Viereck. Definieren Sie den Begriff Inneres von $\overline{ABCD}$ mittels des Begriffs Vereinigungsmenge. Lösung Aufgabe 8.07 SoSe 2017 Aufgabe 8.08 Begründen sie, warum die folgenden Implikationen keine Sätze sind: Die Vereinigungsmenge zweier konvexer Mengen ist konvex. Die Schnittmenge zweier nicht konvexer Mengen ist nicht konvex. Lösung Aufgabe 8.08 SoSe 2017 Aufgabe 8.09 Definieren Sie den Begriff regelmäßiges n-Eck. Hinweis: Der Begriff des Kreises hilft. Lösung Aufgabe 8.09 SoSe 2017 Aufgabe 8.10 Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $\epsilon$. Ferner seien $A,B,C$ drei nicht kollineare Punkte der Ebene $\epsilon$. Keiner dieser drei Punkte möge zu $g$ gehören. Es gelte: $B\in g{A}^{+}$. Beweisen Sie: $C\in g{A}^{+}\Rightarrow C\in g{B}^{+}$ $C\in g{A}^{-}\Rightarrow C\in g{B}^{-}$ Lösung Aufgabe 8.10 SoSe 2017