Gruppendefinition (lang): Unterschied zwischen den Versionen
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=Definition 1: (Algebraische Struktur)= | |||
=Definitionen= | |||
==Definition 1: (Algebraische Struktur)== | |||
Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br /> | Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br /> | ||
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<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math> | <math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math> | ||
=Definition 2: (Halbgruppe)= | ==Definition 2: (Halbgruppe)== | ||
Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn | Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn | ||
<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br /> | <math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br /> | ||
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#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math> | #(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math> | ||
#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>. | #(Assoziativität) <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>. | ||
=Definition 3: (Monoid)= | ==Definition 3: (Monoid)== | ||
Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br /> | Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br /> | ||
*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math> | *(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math> | ||
=Definition 4: (Gruppe)= | ==Definition 4: (Gruppe)== | ||
Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat: | Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat: | ||
*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math> | *(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math> | ||
=Bemerkungen= | |||
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Version vom 5. November 2017, 16:00 Uhr
DefinitionenDefinition 1: (Algebraische Struktur)Eine Menge zusammen mit einer Operation oder Relation auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. Schreibweise: Definition 2: (Halbgruppe)Eine algebraische Struktur heißt Halbgruppe, wenn
auf abgeschlossen und assoziativ ist.
Definition 3: (Monoid)Eine Halbgruppe heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:
Definition 4: (Gruppe)Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element von in ein inverses Element bzgl. hat:
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