Lösung von Aufgabe 4.2 (SoSe 18)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

a) Lösung: Beweiß 1, weil Beweiß 2 die Umkehrung und den Basiswinkelsatz nochmal erläutert. Diese sind jedoch bereits bewiesen und somit gültig.
b) Lösung: Voraussetzung:

          Behauptung:   

          Annahme: Alpha und Beta sind gleich. 

Beweisschritte: Begründung:

             1) Alpha und Beta sind gleich                                  Annahme 

             2) Nach dem Basiswinkelsatz sind sie nicht gleich.             Siehe Aufgabenstellung 

             3) Widerspruch zu Annahme                                      2) 

             4) Behauptung stimmt                                           3) 

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