Serie 3 SoSe 2018

Übungsaufgaben zum 01.05.2018

Aufgabe 3.1 SoSe 2018

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck
(a) den Satz des Pythagoras,
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras,
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2
Lösung von Aufgabe 3.1 SoSe 2018

Aufgabe 3.2 SoSe 2018

Es sei $ {\overline {ABC}} $ ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma sei ein Rechter.
Beweisen Sie:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{matrix} (a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\ (b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.
Lösung von Aufgabe 3.2 SoSe 2018

Aufgabe 3.3 SoSe 2018

Zwischendurch eine Definition:
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie:
Definition: (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden)

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g eine Gerade.

Der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P wird bei der Spiegelung an Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g auf sich selbst abgebildet, wenn ...

Ansonsten gilt für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P und sein Bild Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P' bei der Spiegelung an Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g ...

Lösung von Aufgabe 3.3 SoSe 2018

Aufgabe 3.4 SoSe 2018

Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.
Lösung von Aufgabe 3.4 SoSe 2018

Aufgabe 3.5 SoSe 2018

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k ein Kreis mit dem Mittelpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M . Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k versteht.
Lösung von Aufgabe 3.5 SoSe 2018

Aufgabe 3.6 SoSe 2018

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABCD} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{EFGH} seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen.

Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABCD} bzw.Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{EFGH} ist gleich.

Lösung von Aufgabe 3.6 SoSe 2018

Aufgabe 3.7 SoSe 2018

Gegeben sei ein Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABC} mit dem Umkreis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k . Der Mittelpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k möge ein Punkt der Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} sein. Der Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle CAB habe die Größe $ 25 $°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:

1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle ACM|
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle AMC|
3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle CMB|
4. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle ABC|
5. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle MCB|
6. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle ACB|

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:

• Innenwinkelsatz für Dreiecke
• Nebenwinkelsatz
• Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke

Lösung von Aufgabe 3.7 SoSe 2018

Aufgabe 3.8 SoSe 2018

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABCD} ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): AB \| CD .
Lösung von Aufgabe 3.8 SoSe 2018

Aufgabe 3.9 SoSe 2018

Die folgende Aussage mögen wahr sein:
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Wir betrachten den folgenden Satz:

Wenn zwei Geraden $ a $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen.
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.
Lösung von Aufgabe 3.9 SoSe 2018

Aufgabe 3.10 SoSe 2018

Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt:
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.
Lösung von Aufgabe 3.10 SoSe 2018

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Aufgabe 3.10