SoSe 2018 Lösung von Aufgabe 6.01

Aufgabe 6.01 In einer Übung definierte eine Kommilitonin den Begriff Halbgerade $A{B}^{+}$ wie folgt:<br\> $A{B}^{+}:=\overline{AB}\cup \{P|P\in AB\wedge |AP|>|BP|\}$<br\> In der Vorlesung wurde wie folgt definiert:<br\> $A{B}^{+}:=\overline{AB}\cup \{P|\mathrm{Zw}(A,B,P)\}$ Beweisen Sie: Definition V $\Rightarrow$ Definition Ü Definition Ü $\Rightarrow$ Definition V Lösung 1 Behauptung: Def V <=> Def Ü zz. P Element von AB, d.h. P muss zwischen den Punkten A und B liegen Strecke AB ist größer als Strecke AP Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 16:32, 10. Jun. 2018 (CEST) Hier ist Luft nach oben. Natürlich können wir beide Implikationen zusammenfassen zu einer Äquivalenz. Def Ü genau dann, wenn Def V. Dazu sind zwei Beweise zu führen. Beweis 1 Wenn $P$ ein Punkt des Strahls $A{B}^{+}$ nach Def Ü ist dann ist er auch ein Punkt des Strahls $A{B}^{+}$ nach Def V. Sei $P$ ein Punkt von $A{B}^{+}$ nach Def Ü. Voraussetzung In diesem Fall gilt: Entweder ist $P$ ein Punkt der Strecke $\overline{AB}$ oder es gilt $P\in AB$ und $|BP|<|AP|$. Anders ausgedrückt: Fall 1 $P\in \overline{AB}$ Fall 2 $P\in AB\wedge ||AP|>|BP|$ Behauptung $P$ ist auch ein Punkt von $A{B}^{+}$ nach Definition V, d.h. Fall a $P$ gehört zur Strecke $\overline{AB}$ Fall b $\mathrm{Zw}(A,B,P)$ Der Beweis Wenn Fall 1 eintritt folgt Fall a. Es bleibt zu zeigen: $P\in AB\wedge |AP|>|BP|\Rightarrow \mathrm{Zw}(A,B,P)$ Ferner dürfen wir für diesen Beweis voraussetzen, dass $P\in ̸\overline{AB}$, denn Fall 1 wurde schon abgearbeitet. Von drei paarweise verschiedenen Punkten $A,B,P$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen (in der Vorlesung bewiesen). Prinzipiell könnte also gelten: $\begin{array}{cc}\text{I}& \mathrm{Zw}(APB)\\ \text{II}& \mathrm{Zw}(PAB)\\ \text{III}& \mathrm{Zw}(ABP)\\ \end{array}$