Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei $ \ P $ ein Punkt, der nicht zur Geraden $ \ g $ gehören möge. ...

...Die Gerade $ \ l $, die senkrecht auf $ \ g $ steht und durch den Punkt $ \ P $ geht heißt Lotgerade von $ \ P $ auf $ \ g $. Der Schnittpunkt $ \ L $ von $ \ l $ mit $ \ g $, heißt Lotfußpunkt des Lotes von $ \ P $ auf $ \ g $. Unter dem Lot von $ \ P $ auf $ \ g $, versteht man die Strecke $ {\overline {PL}} $. --Löwenzahn 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei $ \ P $ ein Punkt außerhalb von $ \ g $. Der Abstand von $ \ P $ zu $ \ g $ ist ...

... die Länge der Lotes $ {\overline {PL}} $ von $ \ P $ auf $ \ g $. --Löwenzahn 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt $ \ P $ außerhalb einer Geraden $ \ g $ gibt es genau ein Lot von $ \ P $ auf $ \ g $.

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Lösung von Aufgabe 12.4

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EXISTENZ

	Beweisschritt	Begründung
(I)	Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls $ P1N\perp g $, dann ist $ {\overline {P1N}} $ unser Lot. Fall 2: $ P1N\not \perp g $, dann weiter mit (II)	Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
(II)	Antragen von $ \alpha 1:\alpha 1\cong \alpha 2 $	Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	Antragen von $ |NP|1:|NP1|\cong \ |NP2| $	Konstruktion, Axiom vom Lineal
(IV)	Antragen von $ |NL|\cong \ |NL| $	trivial
(V)	$ {\overline {LNP1}}\cong \ {\overline {LNP2}} $	(II), (III), (IV), SWS
(VI)	$ \angle NLP1\cong \ \angle NLP2 $	beides rechte Winkel --> $ {\overline {PN}} $ ist Lot auf g.

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$ {\overline {P1L}} $ist Lot von P auf g.
Annahme: $ \exists N\in g $ mit $ {\overline {P1N}} $ ist auch Lot von P auf g, $ L\not \equiv N. $
$ \alpha 1 $ ist bezüglich $ \alpha $ nicht anliegender Innenwinkel ($ {\overline {NLP1}} $) --> Widerspruch, weil $ \alpha 1<\alpha $ (schwacher Außenwinkelsatz)