Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $P$ auf eine Gerade $g$.

Existenz

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $g$, die durch $P$ geht.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Punkt $A\in g$, der Abstand zu P beträgt $|AP|$	Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II)	Am Scheitelpunkt $A$ wird an der Gerade $g$ der Winkel $\alpha$ in die Halbebene $g,P^{-}$ abgetragen.	Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von $|AP|$ an. Es entsteht der Punkt $P^{\prime }$.	Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(IV)	$P{P}^{\prime }\cap g$. Der Schnittpunkt sei $L$.	Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
(V)	Es entstehen zwei kongruente Dreiecke $\overline{PLA}$ und $\overline{P^{\prime }LA}$	SWS S - $\overline{PA}\cong \overline{P^{\prime }A}$ (III) W - $\alpha \cong {\alpha }^{\prime }$ (II) S - $\overline{AL}\cong \overline{AL}$ trivial
(VI)	Die Winkel an $L$ sind rechte Winkel	(IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
(VII)	$PL$ steht senkrecht auf $g\to PL$ ist Lotgerade, $\overline{PL}$ ist Lot(strecke)	(VI), Definition Lot

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel $\alpha$ bezüglich $A{P}^{+}$ in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$, Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $P$ auf $g$.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $P$ auf $g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $L^{\prime }$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline{PL{L}^{\prime }}$	VSS, Punkte $L{L}^{\prime }P$ sind nicht kollinear, da $L\in g\wedge L^{\prime }\in g\wedge P\notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Annahme, $L^{\prime }$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|=90$	VSS, $L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Supplementaxiom
(V)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<$ Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|$ $|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)