Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20)

Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.

Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g

Behauptung: g parallel zu g

Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: $a\cap b=S$ und $a\cap g=P$ und $b\cap g=E$

	Beweisschritt	Begründung
1)	$S_a\circ S_b(g)=g^{″}$	Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
2)	$S_a\circ S_b(P)=P^{″}\wedge S_a\circ S_b(E)=E^{″}$	Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
3)	$|<PSE|=|<P^{″}S{E}^{″}|=|<ab|$	Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
4)	$|PS|=|P^{″}S|\wedge |ES|=|E^{″}S|$	Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
5)	$g^{″}\cap a=P^{″}\wedge g^{″}\cap b=E^{″}$	1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
6)	$g||g^{″}$	3), 4), 5)

--tgksope (Diskussion) 10:58, 25. Jul. 2020 (CEST)

Der Beweis geht kürzer: 

Voraussetzung: Punktspiegelung $S_a\circ S_b$ mit $a\cap b=\{S\}$ und a $\perp b$ 
Behauptung: g || g

	Beweisschritt	Begründung
1)	Drehen a und b mit festen S und festen Drehwinkel so, dass a II b	Punktspiegelung
2)	$S_a(g)=g^{\prime }$$,g^{\prime }||g$	Parallelentreue, 1), Vor., Def. Geradenspiegelung
3)	$S_b(g^{\prime })=g^{″}=g^{\prime }$	Def. Fixgerade, Vor.
4)	$g||g^{″}$	2), 3), Transitivität der Parallelenrelation

--Tutorin Laura (Diskussion) 11:06, 27. Jul. 2020 (CEST)