Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $P$ auf eine Gerade $g$.

Existenz

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $g$, die durch $P$ geht.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Punkt $A\in g$, der Abstand zu P beträgt $|AP|$	Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II)	Am Scheitelpunkt $A$ wird an der Gerade $g$ der Winkel $\alpha$ in die Halbebene $g,P^{-}$ abgetragen.	Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von $|AP|$ ab. Es entsteht der Punkt $P^{\prime }$.	Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(IV)	$P{P}^{\prime }\cap g$. Der Schnittpunkt sei $L$.	$P$ und $P^{\prime }$ liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf $g$.
(V)	Es entstehen zwei kongruente Dreiecke $\overline{PLA}$ und $\overline{P^{\prime }LA}$	SWS S - $\overline{PA}\cong \overline{P^{\prime }A}$ (III) W - $\alpha \cong {\alpha }^{\prime }$ (II) S - $\overline{AL}\cong \overline{AL}$ trivial
(VI)	Die Winkel an $L$ sind rechte Winkel	(IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
(VII)	$PL$ steht senkrecht auf $g\to PL$ ist Lotgerade, $\overline{PL}$ ist Lot(strecke)	(VI), Definition Lot

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel ${\alpha }^{\prime }$ bezüglich $AP$ in der selben Halbebene liegt wie $\alpha$. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --Barbarossa 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC)

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$, Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $P$ auf $g$.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $P$ auf $g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $L^{\prime }$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline{PL{L}^{\prime }}$	VSS, Punkte $L{L}^{\prime }P$ sind nicht kollinear, da $L\in g\wedge L^{\prime }\in g\wedge P\notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Annahme, $L^{\prime }$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|=90$	VSS, $L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Supplementaxiom
(V)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<$ Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|$ $|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)