Geradenspiegelungen

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $g$

Übungsaufgabe

Es sei $P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $P$ bei der Spiegelung an $g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei der Spiegelung aneiner Geraden $g$
$(P\notin g)$

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	Wir fällen das Lot von $P$ auf $g$. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden $g$ bezeichnen wir mit $L$	So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt $P$ und der Geraden $g$. Außerdem steht das Lot senkrecht auf $g$ , was die Voraussetzung dafür ist, dass $g$ später Mittelsenkrechte werden kann.
2.	Nun tragen wir die Strecke $\overline{PL}$ auf der Halbgeraden $L{P}^{-}$ ab	Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten derHalbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden $g$
3.	Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit $P^{\prime }$	$P^{\prime }$ ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an $g$. Das wird dadurch ersichtlich, dass $P$ und $P^{\prime }$ den gleichen Abstand zu $g$ haben und $g$ somit Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{P{P}^{\prime }}$ ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $g$)

Es sei $g$ eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung $S_g$ versteht man eine ....

Es sei $g$ eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung $S_g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:

(1) Für den Fall dass P $\in$ $g$: P = P'

(2) Für den fall dass P $\notin$ $g$: Die Gerade $g$ ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis:

Es seien $A$, $B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $g$ auf ihre Bilder $A^{\prime }$ und $B^{\prime }$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

1. $A,B$ $\in$ $g$

Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.

2. $A$ $\in$ $g$, $B$ $\notin$ $g$

Den Schnittpunkt von $\overline{B{B}^{\prime }}$ mit $g$ bezeichnen wir mit $L$

Beweis

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	$A$ = $A^{\prime }$	Definition Geradenspiegelung
2.	$|BL|=|B^{\prime }L|$	$g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{B{B}^{\prime }}$
3.	$\Vert AL|=|A^{\prime }L|$	Es handelt sich um dieselbe Gerade.
4.	$\Vert \mathrm{\angle }BLA|=|\mathrm{\angle }{B}^{\prime }L{A}^{\prime }|$ = 90°	$g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{B{B}^{\prime }}$
5.	$\overline{ABL}$ kongruent $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }L}$	2. + 3. + 4. + SWS
6.	$|AB|=|A^{\prime }{B}^{\prime }|$	5.

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3.$A,B$ $\notin$ $g$

Den Schnittpunkt von $\overline{B{B}^{\prime }}$ mit $g$ bezeichnen wir mit $L$

Den Schnittpunkt von $\overline{A{A}^{\prime }}$ mit $g$ bezeichnen wir mit $M$

Beweis

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	$|\overline{AM}|=|\overline{A^{\prime }M}|,\overline{ML}=\overline{ML},|\mathrm{\angle }AML|=|\mathrm{\angle }{A}^{\prime }ML|$ = 90°	$g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{A{A}^{\prime }}$
2.	$\overline{AML}$ kongruent $\overline{A^{\prime }ML}$	1.
3.	$|\mathrm{\angle }MAL|=|\mathrm{\angle }ALB|$ und $|\mathrm{\angle }M{A}^{\prime }L|=|\mathrm{\angle }{A}^{\prime }L{B}^{\prime }|$	Wechselwinkelsatz, da $\overline{A{A}^{\prime }}||\overline{B{B}^{\prime }}$
4.	$|\mathrm{\angle }MAL|=|\mathrm{\angle }M{A}^{\prime }L|$ --> $|\mathrm{\angle }ALB|=|\mathrm{\angle }{A}^{\prime }L{B}^{\prime }|$	2. + 3.
5.	$|\overline{BL}|=|\overline{B^{\prime }L}|$	$g$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{A{A}^{\prime }}$
6.	$|\overline{AL}|=|\overline{A^{\prime }L}|$	2.
7.	$|\overline{ABL}|=|\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }L}|$	4. + 5. + 6. + SWS
8.	$|\overline{AB}|=|\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}|$	7.

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