Benutzer:Andreas

Spiegelung_Test

Beweis Drehung

Satz: Wenn eine Bewegung $\varphi$ genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist $\varphi$ eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Beweis

Voraussetzung: $\varphi$ ist eine Bewegung, $\varphi$ hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: $\beta \cong {\beta }^{\prime }$

Beweisschritt	Begründung
1. $P\ne P^{\prime },Q\ne Q^{\prime }$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. $\overline{ZP}\cong \overline{Z{P}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. $\overline{ZQ}\cong \overline{Z{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. $\overline{PQ}\cong \overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. $\mathrm{△}ZPQ\cong \mathrm{△}Z{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$	sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. $\alpha \cong {\alpha }^{\prime }$ $|\alpha |=|{\alpha }^{\prime }|$	folgt aus Schritt 5
7.$|{\beta }^{\prime }|=|{\alpha }^{\prime }|+|\beta |-|\alpha |$ $|{\beta }^{\prime }|=|\beta |$ ${\beta }^{\prime }\cong \beta$	rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6