Verschiebungen 2010

Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung

Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)

"Konstruktionsvorschrift": $P^{\prime }=P+\overrightarrow{AB}$

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben sind ein Punkt $D$ und sein Bildpunkt $D^{\prime }$, sowie ein Punkt $P$. Gesucht ist sein Bildpunkt $P^{\prime }$bei der Verschiebung an $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$

(1) Für den Fall, dass gilt: $D,D^{\prime },P$ sind nicht kollinear.

1. Parallele zu $\overline{D{D}^{\prime }}$ durch $P$

2. Parallele zu $\overline{DP}$ durch $D^{\prime }$

3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt $P^{\prime }$

(2) Für den Fall, dass gilt: $D,D^{\prime },P$ sind kollinear.

1. Konstruiere einen beliebigen Punkt $Q$ der Ebene der nicht kollinear zu $D,D^{\prime },P$ ist.

2. Konstruiere den Bildpunkt $Q^{\prime }$ von $Q$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, wie in (1) beschrieben.

3. Konstruiere nun den Bildpunkt $P^{\prime }$ von $P$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{Q{Q}^{\prime }}$ wie in (1) beschrieben. $P^{\prime }$ ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, da $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ und $\overrightarrow{Q{Q}^{\prime }}$ den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85

Definition der Verschiebung

...

Eine andere Möglichkeit der Definition?

Es sei $\overrightarrow{AB}$ ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles $\overrightarrow{AB}$ vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1. $|AB|=|P{P}^{\prime }|$
2. $\overline{AB}$ $\Vert$ $\overline{P{P}^{\prime }}$
3. $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.

Es sei $V$ eine Verschiebung längs des Pfeiles $\overrightarrow{AB}$ und $P,Q$ zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern $P^{\prime },Q^{\prime }$ bei $V$, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil $\overrightarrow{AB}$ liegen.
Wir haben zu zeigen, dass $\overline{PQ}\cong \overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$ ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass $\overline{PQ{Q}^{\prime }{P}^{\prime }}$ ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

--Steph85

• oder : kompletter Beweis abfotographiert

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline{P{P}^{\prime }}\Vert \overline{Q{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
2) $\overline{ABP{P}^{\prime }}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes $P$ ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms $\overline{ABP{P}^{\prime }}$.")
3) $\overline{ABQ{Q}^{\prime }}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
4) Aus $\overline{AB}\cong \overline{P{P}^{\prime }}$ und $\overline{AB}\cong \overline{Q{Q}^{\prime }}$ folgt $\overline{P{P}^{\prime }}\cong \overline{Q{Q}^{\prime }}$	(2), (3), Transitivität
5) $\overline{PQ{Q}^{\prime }{P}^{\prime }}$ ist ein Parallelogramm.	(1), (4)