Lösung von Aufg. 8.2

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$ und $\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$.

Lösung --Schnirch 14:05, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{AB}\subset A{B}^{+}$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$ und $\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^{*}\in A{B}^{+}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$	Axiom III.1
(II)	$\overline{A{B}^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(III)	$\left|A{B}^{*}\right|<\left|AB\right|$	Rechnen in $\mathbb{ℝ}$ und $\frac{1}{\pi }$ < 1
(IV)	$\mathrm{Zw}(A,B^{*},B)$	(I), (III), Def. Zw
(V)	$\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$	(IV)

vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen

Vor: $\overline{AB}$
Beh: Es existiert $\overline{A{B}^{*}}$, $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$,$\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$.

1)$\overline{AB}$___________________laut Vor

2) es existiert ein Strahl AB+_________________Def. Strahl

3) es existiert genau ein Punkt B* auf_______________________Axiom vom Lineal
dem Strahl AB+ für den gilt: $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$

4) $\pi$ ist größer als 1. daraus folgt_____________________Rechnen in R
$\frac{1}{\pi }kleinerals1ist,darausfolgtwiederum\left|A{B}^{*}\right|$ kleiner als $\left|AB\right|$

5) Zw(A,B*,B)____________________________4)

6)$\left|A{B}^{*}\right|$ + $\left|B{B}^{*}\right|$= $\left|AB\right|$_________Def. Zw 5)

7)$\overline{A{B}^{*}}:=(PZw(A,P,B*))\cup (AB*)$________________Def. Strecke

8)$\overline{AB}$:= $\overline{A{B}^{*}}\cup$(P\ Zw(B*,P,B)$\cup (B)$ _____Def. Strecke

9)$\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$_________________________7) und 8) --Engel82 17:55, 3. Dez. 2010 (UTC)

Die Lösung von Engel82 ist super ausführlich und auch korrekt!--Schnirch 14:04, 14. Dez. 2010 (UTC)