Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11)

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel

Wechselwinkel

entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.1: (Stufenwinkel)

Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel q und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.--Halikarnaz 13:25, 23. Jan. 2011 (UTC)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--Halikarnaz 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

Übungsaufgabe

Wenn zwei zueinander parallele Geraden p und p* von einer Geraden g geschnitten werden, so bezeichnet man die beiden Winkel <gp und <gp*, die bezüglich der Geraden g in derselben Halbebene, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von p und p* liegen, als entgegengesetzt liegende Winkel. Entgegengesetzt liegende Winkel ergänzen sich zu 180°(diese Eigenschaft folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie).(Umgekehrt kann auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden)--Halikarnaz 13:22, 23. Jan. 2011 (UTC)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $a$ und $b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\alpha$ und $\beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $c$ mit $a$ und $b$ entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $a$ und $b$ parallel zueinander.

Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $a,b$ und $c$ drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade $c$ möge $a$ in dem Punkt$A$ und die Gerade $b$ in dem Punkt $B$ schneiden. $\alpha$ und $\beta$ sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von $a$ und $b$ mit $c$ entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) $\alpha \cong \beta$

Behauptung:

$a\Vert b$

Annahme:

$a\Vert b$

Den Rest können Sie selbst!

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Voraussetzung:

1. $a\equiv ̸b\equiv ̸c$
2. $\alpha$ und $\beta$ sind Stufenwinkel
3. $\alpha \cong \beta$
4. $b\cap c$ = {$B$}
5. $a\cap c$ = {$A$}
   

Behauptung:

$a\Vert b$

Annahme:

$a\Vert b$

1) $a\Vert b$	Annahme
2) $a\equiv b$ oder $a\cap b$ = {$S$}	1), Schnittpunkt von Geraden
3) $a\equiv b$	Widerspruch zur 1. Voraussetzung
4) $a\cap b$ = {$S$} $\Rightarrow$ $a\Vert c$ oder $a\equiv c$	2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
5) $a\equiv c$	Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
6) $a\Vert c$	Widerspruch zur 5. Voraussetzung

$\Rightarrow$ Annahme verwerfen $\Rightarrow$ Behauptung stimmt.
q.e.d.--Jbo-sax 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC)