Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11)

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$ verläuft und zu dieser Strecke $\overline{AB}$ senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).

Lösung: Schritt 1 Voraussetzung: $\overline{AB}$ mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt P, wobei P ԑ m
Behauptung: zu zeigen: $\overline{PA}$ ist kongruent zu $\overline{PB}$

Beweisschritt	Behauptung
1) $\overline{MA}$ ist kongruent zu $\overline{MB}$ 2) $\overline{MP}$ ist kongruent zu $\overline{MP}$ 3) $\mathrm{\angle }(M,A,P)$ ist kongruent zu $\mathrm{\angle }(M,B,P)$ 4) Dreieck $\overline{AMP}$ ist kongruent zu Dreieck $\overline{BMP}$ 5) $\overline{PA}$ ist kongruent zu $\overline{PB}$	Voraussetzung, Def. Mittelpunkt trivial Voraussetzung, Definition Mittelsenkrechte Kongruenzsatz SWS, 1-3 5

→Jeder Punkt P auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B

Schritt 2: Voraussetzung: $\overline{AB}$ mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt X, für den gilt $\overline{XA}$ ist kongruent zu $\overline{XB}$
Behauptung: zu zeigen: $\mathrm{\angle }(M,A,X)$ ist kongruent zu $\mathrm{\angle }(M,B,X)$

Beweisschritt	Behauptung
1) $\overline{AX}$ ist kongruent zu $\overline{BX}$ 2) $\overline{MX}$ ist kongruent zu $\overline{MX}$ 3) $\overline{AM}$ ist kongruent zu $\overline{BM}$ 4) Dreieck $\overline{AMX}$ ist kongruent zu Dreieck $\overline{BMX}$ 5) $\mathrm{\angle }(M,A,X)$ ist kongruent zu $\mathrm{\angle }(M,B,X)$	Voraussetzung trivial Voraussetzung, Def. Mittelpunkt Kongruenzsatz SSS, 1-3 4

→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g--Matthias 19:16, 27. Apr. 2011 (CEST)