Lösung von Aufg. 12.8 SS11

Es seien $\overline{ABCD}$ ein Quadrat und $r$ eine positive reelle Zahl, die kleiner als die Seitenlänge von $\overline{ABCD}$ ist. Ferner seien die Punkte $E\in \overline{AB},F\in \overline{BC},G\in \overline{CD},H\in \overline{DA}$ mit $|AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r$ gegeben. Man beweise: $\overline{EFHG}$ ist ein Quadrat.

Was ist ein Quadrat ?--Peterpummel 18:24, 3. Jul. 2011 (CEST)



$DefinitionQuadrat:$
$EsseienA,B,C,DvierverschiedenePunkte$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \ Q := \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA} \ heißt \ genau \ dann \ Quadrat \ , \ wenn \ gilt:}
$(i)\overline{AD}\equiv \overline{AB}\equiv \overline{BC}\equiv \overline{CD}$
$(ii)\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }DCB=\mathrm{\angle }ADC=90$

$Beweis:$

$Voraussetztung:$
$(i)|AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r$
$(ii)\overline{AD}\equiv \overline{AB}\equiv \overline{BC}$
$(iii)\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }DCB=\mathrm{\angle }ADC=90$

$Behauptung:$
$(i)\overline{HE}\equiv \overline{EF}\equiv \overline{FG}\equiv \overline{GH}$
$(ii)\mathrm{\angle }FEH=90=\mathrm{\angle }GFE$

$BetrachteTeildreieck\overline{AEH}fuerdiesesgilt:$
$|\overline{AE}|=rund\mathrm{\angle }EAH\equiv 90$
$fernergilt|\overline{AH}|=|\overline{DA}|-|\overline{AH}|=:d$
$BetrachteTeildreieck\overline{EBF}fuerdiesesgilt:$
$|\overline{FB}|=rund\mathrm{\angle }FBE\equiv 90$
$fernergilt|\overline{EB}|=|\overline{AB}|-|\overline{AE}|=d$
$da|\overline{AE}|=|\overline{FB}|\Rightarrow n.SWS\overline{AEH}\equiv \overline{EBF}$
$\Rightarrow |\overline{HE}|=|\overline{EF}|$
$analogeBetrachtungvon\overline{FCG}und\overline{GDH}liefert|\overline{FG}|=|\overline{GH}|$
$analogeBetrachtungvon\overline{FCG}und\overline{FBE}liefert|\overline{GF}|=|\overline{EF}|$
$\Rightarrow \left|HE\right|=\left|GH\right|=\left|GF\right|=\left|FE\right|$$\iff (i)$

Aus unserer Übung mit dem Parallelaxiom gehe ich nun von dessen Gültigkeit aus und benutze nun den Innenwinkelsummensatz vom Dreieck. Ansonsten sehe ich keine Möglichkeit die rechten Winkel im Quadrat nachzuweisen
$Esgilt180=\mathrm{\angle }EAH+\mathrm{\angle }HEA+\mathrm{\angle }AHE$
$\iff 90=\mathrm{\angle }HEA+\mathrm{\angle }AHE$
$da\mathrm{\angle }AHE\equiv \mathrm{\angle }DGHund\mathrm{\angle }HEA\equiv \mathrm{\angle }GHD\Rightarrow \mathrm{\angle }GHD+\mathrm{\angle }AHE=90$ $SeimdieSenkrechteauf\overline{AD}durchHdanngilt\mathrm{\angle }DHG+\mathrm{\angle }m\overline{HG}=90$
$\iff 90-\mathrm{\angle }DHG=\mathrm{\angle }m\overline{HG}$
$analog\Rightarrow 90-\mathrm{\angle }AHE=\mathrm{\angle }m\overline{HE}$ $Betrachte\mathrm{\angle }EHG=\mathrm{\angle }m\overline{GH}+\mathrm{\angle }\overline{HE}m,diesgiltn.Winkeladditionsaxiom$ $\iff 180-(\mathrm{\angle }DHG+\mathrm{\angle }AEH)$
$,da\mathrm{\angle }DHG\equiv \mathrm{\angle }HEA$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }EHG=180-(\mathrm{\angle }HEA+\mathrm{\angle }AHE)\iff \mathrm{\angle }EHG=180-90=90\Rightarrow \mathrm{\angle }EHGistrechterWinkel$
$analogdieWinkel\mathrm{\angle }FEH\mathrm{\angle }GFE\mathrm{\angle }HGF$
$\Rightarrow \overline{HGEF}isteinQuadrat$

bei den Rechnungen mit den Winkeln stehen keine Betragsstriche dabei, korrekter Weise müssten sie gesetzt werden. Ich bitte das zu beachten.
Vielleicht findet ja jemand eine kürzere und schönere Lösung. Die Definition des Quadrats macht mir den Beweis etwas umständlich, vielleicht einen schönere Definition vom Quadrat anbieten. --Peterpummel 15:41, 4. Jul. 2011 (CEST)