Lösung von Aufg. 12.3 SS11

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt $P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

$Beweis:$

$V:\overline{AP}\equiv \overline{BP}$
$B:P\in mmitmistMittelsenkrechtevon\overline{AB}$

$SeimMittelpunktvon\overline{AB}(n.ExistenzvomMittelpunkteinerStrecke)$
$BetrachtediebeidenDreieck\overline{AMP}und\overline{MPB}$
$Esgilt:\overline{AP}\equiv \overline{BP}nachVoraussetzung$
$Ferner\mathrm{\angle }PMA\equiv \mathrm{\angle }PBMnachBasiswinkelsatz$
$und\overline{AM}\equiv \overline{MB}daMMittelpunktist.$
$\Rightarrow nachSWSdieKongruenzderbeidenDreiecke$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }PMA\equiv \mathrm{\angle }BMP\Rightarrow essindrechteWinkel\Rightarrow PMistMittelsenkrechte$
$\Rightarrow Behauptung$--Peterpummel 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)

$Vor:PunktP,Strecke\overline{AB},Mittelsenkrechtemvon\overline{AB}$
$|PA|=|PB|$
$Beh:P\in m$

Man muss in zwei Fälle unterscheiden:
$1.Fall:P\ne M$
$2.Fall:P=M$

$1.Fall:P\ne M$
$1)△\overline{ABP}istgleichschenklig(Vor,Def.gleichschenkliges△)$