Tangentenkriterium: Unterschied zwischen den Versionen
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| 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) |MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. | | 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) |MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. | ||
Version vom 24. Juli 2011, 08:55 Uhr
Tangentenkriterium
Kriterium: (Tangete am Kreis)
- Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.
- Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.
Satz 1: (Tangete am Kreis)
- $ \ t\cap k=\lbrace A\rbrace \Rightarrow MA\perp \ t $
- $ \ t\cap k=\lbrace A\rbrace \Rightarrow MA\perp \ t $
Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $ \ t\cap k=\lbrace A\rbrace $
Behauptung: $ MA\perp \ t $
Annahme: $ \ MA\not \perp \ t $
| 1 | Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B. | Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung |
| 2 | CB| = |BA| | Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze |
| 3 | $ |\angle MBA|=|\angle MBC|=90 $ | nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1) |
| 4 | $ {\overline {MBA}}\cong {\overline {MBC}} $ | SWS, (2), (3) und weil trivialerweise $ {\overline {MB}} $ zu sich selbst kongruent ist. |
| 5 | MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. |
--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
Satz 2: (Tangente am Kreis)
- $ MA\perp \ t\wedge k\cap t=\lbrace A\rbrace \Rightarrow $ t ist Tangente an k.
- $ MA\perp \ t\wedge k\cap t=\lbrace A\rbrace \Rightarrow $ t ist Tangente an k.
Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.
Voraussetzung: $ MA\perp \ t\wedge k\cap t=\lbrace A\rbrace $
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace S\rbrace
Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.
| 1 | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| MA \right| = \left| MS \right| | Annahme, Definiton Kreis und Radius |
| 2 | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle MAS| = |\angle MSA| = 90 | Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht |
| 3 | Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen. | Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck |
--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
