Lösung von Aufg. 9.4 (WS 11/12)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$


Vor.: $\mathrm{koll}(A,B,C)\wedge A\ne B\ne C\ne D\wedge A,B,C\in E$
Beh.: $\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$
Beweis:

Schritt	Begründung
(1)$\mathrm{koll}(A,B,C)$	Vorr
(2)$\mathrm{(}Zw)(A,B,C)entwederoder\mathrm{(}Zw)(B,C,A)entwederoder\mathrm{(}Zw)(C,A,B)$	Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
(3)Fall 1: $\mathrm{(}Zw)(A,B,C)$ $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow g\cap \overline{AB}=\varphi$ $\overline{AB}c\overline{AC}$ $g\cap \overline{AC}=\left\{S\right\}$ Behaupt stimmt	verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
Fall 2: $\mathrm{(}Zw)(B,C,A)$ $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow entweder:g\cap \overline{BC}=\left\{S\right\}oderg\cap \overline{BC}=\left\{S\right\}$ Wiederspruch zur Behauptung
Fall 3: $\mathrm{(}Zw)(A,B,C)$ $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow entweder:g\cap \overline{BC}=\left\{S\right\}\wedge g\cap \overline{AC}=\varphi$ oder: g \cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi</math>
(4)$\mathrm{\exists }P:P\mathrm{nkoll}(A,B,C)$	A I/3
(5) $\overline{ABP}$	AI/1
(6) $\overline{BCP}$	AI/1
(7) $\overline{ACP}$	AI/1
(8) Fall 1: $P\in g$betrachte ich nachher $P\notin g$
(9) $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow entweder:g\cap \overline{AP}=\left\{H\right\}oder:g\cap \overline{BP}=\left\{H\right\}$	Axiom von Pasch ,(5)
(10) $g\cap \overline{BC}=\varphi \Rightarrow entweder:g\cap \overline{BP}=\varphi \wedge g\cap \overline{CP}=\varphi oder:<math>g\cap \overline{BP}=\left\{S\right\}\wedge <math>g\cap \overline{CP}=\left\{H\right\}$	Axiom von Pasch ,(6)
(11) $g\cap \overline{AC}=\left\{S\right\}\Rightarrow entwerder:g\cap \overline{CP}=\left\{H\right\}oder:g\cap \overline{AP}=\left\{H\right\}$	Axiom von Pasch ,(7)
(12) $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$	(3)
(13) $\overline{AB}c\overline{AC}$	(12)
(14) $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow g\cap \overline{AC}=\left\{S\right\}$	(9),10),(11),(13)
Fall 2 von (7) analog nur mit $\overline{AP}\in g$

Ich denke es sind noch einige Fehler drin, traue mich dennoch mal :-)--RicRic 23:15, 8. Dez. 2011 (CET)

• Die Argumentation für die einzelnen Fälle ist mir noch nicht ganz klar. Ich habe da etwas anders argumentiert, jedoch auch in diese drei Fälle unterschieden.Da es mir leider völlig rätselhaft ist, wie ich diese Tabelle hier erstellen soll, da mir dieses Programm überhaupt nicht liegt, versuche ich das einfach mal schriftlich zu erklären.

Ich habe die einzelnen Fälle zum Widerspruch geführt, indem ich bei den einzelnen Annahmen ( Beispielsweise: zw(A,B,C) ) anhand der Dreiecksungleichung geschlossen habe, dass dementsprechend \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| gelten müsse. Zuvor haben wir gesagt, es existiert ein Punkt P mit P \in AB und P \in g (Definition Schnitt). Da P \in AB ist muss es nun auch \in AC sein (wegen der Dreiecksungleichung). Ich hoffe, ich konnte diese Idee soweit nachvollziehbar rüberbringen :) Ganz ähnlich habe ich dann in den anderen Fällen argumentiert.