Dreieckskongruenz WS 11/12

Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz =

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Streckenkongruenz

Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.

Wie sagt man es richtig?

	Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind kongruent zueinander.
	Der Punkt $A$ hat zum Punkt $B$ denselben Abstand wie der Punkt $C$ zum Punkt $D$
	Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ haben dieselbe Länge.

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

Definition VII.1: (Streckenkongruenz)

Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.

In Zeichen $\overline{AB}\widetilde{=}\overline{CD}:=|\overline{AB}|=|\overline{CD}|$

Satz VII.1:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Winkelkongruenz

Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

Definition VII.2 : (Winkelkongruenz)

Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.

In Zeichen: $\alpha \widetilde{=}\beta :=|\alpha |=|\beta |$

Satz VII.2:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Dreieckskongruenz

In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

Definition VII.3: (Dreieckskongruenz)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 6 Kongruenzen

1. $\overline{AB}\widetilde{=}\overline{DE}$
2. $\overline{BC}\widetilde{=}\overline{EF}$
3. $\overline{AC}\widetilde{=}\overline{DF}$
4. $\mathrm{\angle }CAB\widetilde{=}\mathrm{\angle }FDE$
5. $\mathrm{\angle }ABC\widetilde{=}\mathrm{\angle }DEF$
6. $\mathrm{\angle }ACB\widetilde{=}\mathrm{\angle }DFE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Satz VII.3:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie:
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen $a=5\mathrm{cm}$, $b=4\mathrm{cm}$, $c=3\mathrm{cm}$. $30$ Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung $30$ Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

Das Kongruenzaxiom SWS

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

1. $\overline{AB}\widetilde{=}\overline{DE}$
2. $\overline{AC}\widetilde{=}\overline{DF}$
3. $\mathrm{\angle }CAB\widetilde{=}\mathrm{\angle }FDE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Der Kongruenzsatz WSW

Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

1. $\overline{AB}\widetilde{=}\overline{DE}$
2. $\mathrm{\angle }CAB\widetilde{=}\mathrm{\angle }FDE$
3. $\mathrm{\angle }ABC\widetilde{=}\mathrm{\angle }DEF$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Als Folge von Tafeln

Der fotografierte Beweis

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Die Beweisidee

Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.

Der Kongruenzsatz SSS

Hier dürfen und sollen Sie sich austoben. Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.

Vor.: $\overline{AB}\widetilde{=}\overline{DE}$
$\overline{BC}\widetilde{=}\overline{EF}$
$\overline{AC}\widetilde{=}\overline{DF}$
Beh.: $\overline{ABC}\widetilde{=}\overline{DEF}$
Beweis:

Überschrift 1	Überschrift 2
(1)$\overline{AB}\widetilde{=}\overline{DE}$ $\overline{BC}\widetilde{=}\overline{EF}$ $\overline{AC}\widetilde{=}\overline{DF}$	Vor.
(2) $\mathrm{\exists }Mc:\left|AMc\right|=\left|McB\right|\wedge Mc\in \overline{AB}$ $\mathrm{\exists }Mb:\left|AMb\right|=\left|MbC\right|\wedge Mc\in \overline{AC}$ $\mathrm{\exists }Ma:\left|BMa\right|=\left|MaC\right|\wedge Mc\in \overline{BC}$	Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts einer Strecke
(3) $\mathrm{\exists }mc:mc\perp \overline{AB}\wedge Mc\in mc$ $\mathrm{\exists }mb:mb\perp \overline{AC}\wedge Mb\in mb$ $\mathrm{\exists }ma:ma\perp \overline{BC}\wedge Ma\in ma$	Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten (2)
(4) $\mathrm{\exists }S:S\in mc\wedge S\in mb\wedge S\in ma$	Schnittpukt der Mittelsenkrechten (3)
(5) $\overline{McS}\widetilde{=}\overline{McS}$	trivial
(6) $\overline{AMc}\widetilde{=}\overline{BMc}$	M ist Mittelpunkt (2)
(7) $\mathrm{\angle }AMcS\widetilde{=}\mathrm{\angle }BMcS$	rechter Winkel, Mittelsenkrechte (3)
(8) $\overline{AMcS}\widetilde{=}\overline{BMcS}$	(5)(6)(7) SWS
(9) $\mathrm{\angle }McAS\widetilde{=}\mathrm{\angle }McBS$	(8)
(10) $\overline{MbS}\widetilde{=}\overline{MbS}$	trivial
(11) $\overline{AMb}\widetilde{=}\overline{CMb}$	M ist Mittelpunkt (2)
(12) $\mathrm{\angle }AMbS\widetilde{=}\mathrm{\angle }CMbS$	rechter Winkel, Mittelsenkrechte (3)
(13) $\overline{AMbS}\widetilde{=}\overline{CMbS}$	(10)(11)(12) SWS
(14) $\mathrm{\angle }MbAS\widetilde{=}\mathrm{\angle }MbCS$	(13)
(15) $\left|\mathrm{\angle }McAMb\right|=\left|\mathrm{\angle }MbAS\right|+\left|\mathrm{\angle }McAS\right|$	(9),(14) Winkeladditionsaxiom
(16) Schritte (2) bis (15) analog mit Dreicek $\overline{DEF}$
(17) $\mathrm{\angle }BAC\widetilde{=}\mathrm{\angle }DEF$	(15),(16)
(18) $\overline{ABC}\widetilde{=}\overline{DEF}$	(17), Vor., SWS

--RicRic 17:33, 29. Dez. 2011 (CET)

______________________________________________________

Vor.: $\overline{AB}\widetilde{=}\overline{AB}$
$\overline{BC}\widetilde{=}\overline{B{C}^{\prime }}$
$\overline{AC}\widetilde{=}\overline{A{C}^{\prime }}$

Beh.: $\overline{ABC}\widetilde{=}\overline{AB{C}^{\prime }}$

Beweis:

Schritt	Begründung
(1)$\mathrm{\exists }C{C}^{\prime }$	Axiom I2 Gerade durch zwei Punkte
(2) $\mathrm{\exists }\overline{C{C}^{\prime }B}\wedge \overline{C{C}^{\prime }A}$	(1)
(3)$\mathrm{\exists }\overline{C{C}^{\prime }B}\wedge \overline{C{C}^{\prime }A}$ sind gleichschenklig, da $\overline{BC}\widetilde{=}\overline{B{C}^{\prime }}$ und $\overline{AC}\widetilde{=}\overline{A{C}^{\prime }}$	nach Vorr (2)
(4) es gelten konguente Winkel siehe Skizze	Basiswinkelsatz, (3)
(5) $\overline{ABC}\widetilde{=}\overline{AB{C}^{\prime }}$	SWS (4)

q.e.d. --CostaRica--RicRic 23:26, 3. Jan. 2012 (CET)