Lösung von Aufg. 12.6 WS 11/12

Beweisen Sie:
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Beweis:
Vor.: $\overline{ABC}$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \  \beta   ,   \alpha    &   \gamma }

Beh.: $|\alpha |<90$,  $|\beta |<90$
Ann.: $|\alpha |=90$,  $|\beta |=90$

 1) M sei Mittelpunkt von Strecke AB                               / Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts
 2) Es existiert P Element MC- mit Abstand MC=MP      / Axiom vom Lineal
 3) lila Winkel = lila Winkel                                              / Scheitelwinkelsatz
 4) Strecke AM kongruent zu MB                                     / (1), Def. Mittelpunkt
 5) Strecke CM kongruent zu MP                                    / (2)
 6) Dreieck AMC kongruent zu Dreieck BMP                    / (3), (4), (5), SWS
 7) $|\alpha |=\mathrm{\angle }PBM=90$    / (6), Vor.
 8) $|\beta |=|\delta |=90$          / Supplementaxiom, Vor.
 9) $|\delta |=\mathrm{\angle }PBM=90$     / (7), (8)
10) BC- kongruent zu BP'+                                             / (9),Winkelkonstruktionsaxiom
11) P ist Element von BC                                                / (10)

12) Analog lässt sich zeigen, dass P Element von AB

13) AC kongruent zu BC                                                   / (11), (12), Axiom I.1
14) koll(ABC)                                                                    / 13), Def. koll                -> Widerspruch zur Vorrausetzung

--Flobold 13:56, 15. Jan. 2012 (CET)