Lösung von Aufg. 13.2 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. Januar 2012, 00:36 Uhr

Beweisen Sie: Wenn $P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $g$ ist, dann gibt es eine Gerade $h$ , die durch $P$ geht und parellel zu $g$ ist.

Kann man, um diese Implikation zu beweisen, das Parallelnaxiom verwenden?

Mann kann es in der absoluten Geometrie beweisen. D.h. ohne Parallelaxiom. --RicRic 07:53, 23. Jan. 2012 (CET

Vor: P, g, P $\in̸$ g
Beh: P $\in$ h $\land$ $h ‖ | g$

Beweisschritt	Begründung
1) $\exists$ R, L : R,L $\in$ g	Axiom I.2
2) $\exists$ l: P, L $\in$ l $\land$ $l ⊥ g$ $\land$ $l \cap g$ = {L}	Ex. und Eind. Lot, (1)
3) $\exists$ Q: Q $\in$ gP⁺ $\land$ $Q \neq P$	Definition Halbebene
4) $\exists$ PA⁺: $∠ A P L$ = 90 $\land$ PA⁺ Teilmenge von lQ⁺	Axiom IV.2, (2), (3)
5) $∠ A P L$ $\tilde{=}$ $∠ R L P$	(2), (4)
6) $h ‖ \| g$	(5), Umkehrung Wechselwinkelsatz
q.e.d.

--Adores 01:36, 24. Jan. 2012 (CET)

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 Kann man, um diese Implikation zu beweisen, das Parallelnaxiom verwenden?
-* Mann kann es in der absoluten Geometrie beweisen. D.h. ohne Parallelaxiom. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 07:53, 23. Jan. 2012 (CET)
+* Mann kann es in der absoluten Geometrie beweisen. D.h. ohne Parallelaxiom. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 07:53, 23. Jan. 2012 (CET
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+Vor: P, g, P <math>\not\in</math> g <br />
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+! Beweisschritt
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+| Definition Halbebene
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+| 4) <math>\exists</math> PA<sup>+</sup>: <math>\angle APL</math> = 90 <math>\wedge</math> PA<sup>+</sup> Teilmenge von lQ<sup>+</sup>
+| Axiom IV.2, (2), (3)
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+|(2), (4)
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+| (5), Umkehrung Wechselwinkelsatz
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+| q.e.d.
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+--[[Benutzer:Adores|Adores]] 01:36, 24. Jan. 2012 (CET)
 [[Category:Einführung_Geometrie]]