Lösung von Aufg. 14.4 (WS 11/12

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel $\mathrm{\angle }MAB$, wenn die Gerade g zur Tangente am Kreis k im Punkt A wird?

Der Winkel $\mathrm{\angle }MAB$ wird zum rechten Winkel, $MAB\perp g$ --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

Also genau genommen verschwindet der Winkel $\mathrm{\angle }MAB$, da der Punkt A und B identisch ist. Es müsste also heißen: $\mathrm{\angle }MAZ\perp g$

b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ...

...steht der Radius $\overline{MA}$senkrecht auf g --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.

Voraussetung: g Tangente an k, $A\in g\wedge A\in k$, $\overline{MA}$ ist Radius
Behauptung: $\overline{MA}\perp g$
Annahme: $\overline{MA}\perp ̸g$
(1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft $l\perp g:B\wedge l\ne \overline{MA}$
(2) Antragen Punkt $C$ auf Strahl $B{A}^{-}\in \left|BC\right|=\left|BA\right|$
(3) $\overline{BMA}\equiv \overline{BMC}$ nach SWS
(4) $\left|MC\right|=\left|MA\right|$ nach 3. und Dreieckskongruenz
(5) $\left|MA\right|$ ist Radius nach Vorausssetzung
(6) $\left|MC\right|$ ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.
(7) $C\in g\wedge C\in k$ nach 6.
Widersprung zur Voraussetung!--Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.

e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)

--> Wenn eine Gerade g durch den Berührpunkt A des Kreiss k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist g genau dann Tangente an k, wenn g senkrecht auf MA steht.