Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 12 P)

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).
b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?

1. $a\Vert |b\Rightarrow \alpha \widetilde{=}\beta$
2. $\alpha \widetilde{=}\beta \Rightarrow a\Vert |b$
3. $\Vert \alpha \Vert =\Vert \beta \Vert \Rightarrow \mathrm{\exists }S:S\in a\wedge S\in b$
4. $a\Vert |b\iff \alpha \widetilde{=}\beta$

a)
zwei nichtidentische geraden a und b werden von einer dritten geraden geschnitten.
wenn die geraden a und b parallel zueinander sind, so sind die dabei entstandenen stufenwinkel Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \alpha \} und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \beta \} kongruent zueinander.--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

b)
1. ist der stufenwinkelsatz:
formal: $A\Rightarrow B$
kurzfassung: wenn a und b parallel, dann stufenwinkel kongruente zueinander--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

2. umkehrung des stufenwinkelsatzes:
formal:$B\Rightarrow A$
kurzfassung: wenn stufenwinkel kongruent zueinander, dann a und b parallel--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

3. kontraposition:
formal: $\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$
kurzfassung: wenn stufenwinkel nicht kongruent zueinander, dann existiert ein schnittpunkt (a und b nicht parallel)--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

4. da 1. (der satz) und 2. (seine umkehrung) wahr sind,
kann man formal schreiben: $A\iff B$
kurzfassung:a und b parallel genau dann, wenn stufenwinkel kongruent zueinander.--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)