Lösung von Aufgabe 3.4 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufgabe 3.4==
==Aufgabe 3.4==
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br />  
'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit  |AC|< |BC|  < |AB|  sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br />  
'''<br /><br />
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br />
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br />  
 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
Beweis 1)
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
Beh:  |α| ≠ |β|<br />
Bew: Da nach Voraussetzung |AC|  ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
<br /><br />
Beweis 2)  
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
Vor:  |AC|< |BC| < |AB|. <br />
Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
Bew:  Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt:  Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also:  Wenn  |AC|  ≠ |BC|  dann gilt |α|  ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC|  ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />


[[Category:Einführung_S]]
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Version vom 30. April 2012, 11:55 Uhr

Aufgabe 3.4

Satz: In einem Dreieck ABC‾ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei ABC‾ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei ABC‾ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

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