Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012)

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $A$ und $B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $d$ mit $d=0:⟺A=B$.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $A$ und $B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $A$ und $B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d=\left|AB\right|$.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $A$ und $B$ gilt $\left|AB\right|=\left|BA\right|$.

Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte $A,B$ und $C$ für die gilt:

a) $\left|AB\right|$ = 4, $\left|BC\right|$ = 3, $\left|AC\right|$ = 5

b) $\left|AB\right|$ = 2, $\left|BC\right|$ = 3, $\left|AC\right|$ = 5

c) $\left|AB\right|$ = 1, $\left|BC\right|$ = 2, $\left|AC\right|$ = 5

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $A,B$ und $C$ gilt: $\left|AB\right|+\left|BC\right|\ge \left|AC\right|.$

Falls $\mathrm{koll}\left(ABC\right)$, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$

$\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$

$\left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right|$

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $A$, $B$ und $C$ kollinear.

Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $B$ liegt zwischen zwei Punkten $A$ und $C$, wenn $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ gilt und der Punkt $B$ sowohl von $A$ als auch von $C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\mathrm{Zw}(A,B,C)$

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

Satz II.1

Aus $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ folgt $\mathrm{Zw}(C,B,A)$.

Beweis von Satz II.1

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.2:

Aus $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ folgt $\mathrm{koll}(A,B,C)$.

Beweis von Satz II.2

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.3

Es sei $\mathrm{koll}(A,B,C)$ mit $A,B,C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ oder $\mathrm{Zw}(A,C,B)$ oder $\mathrm{Zw}(B,A,C)$.

Beweis von Satz II.3:

Übungsaufgabe 5.1

Der Begriff der Strecke

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Halbgeraden bzw. Strahlen

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition (Halbgerade $A{B}^{+}$): (ergänzen Sie)