Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012): Unterschied zwischen den Versionen
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:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>. | :Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>. | ||
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=== Aufgabe === | === Aufgabe === | ||
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br /> | Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br /> | ||
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b) <math>\left| AB \right| </math> '''= 2''', <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''', <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br /> | b) <math>\left| AB \right| </math> '''= 2''', <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''', <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br /> | ||
c) <math>\left| AB \right| </math> '''= 1''', <math>\left| BC \right|</math> ''' = 2''', <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br /> | c) <math>\left| AB \right| </math> '''= 1''', <math>\left| BC \right|</math> ''' = 2''', <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br /> | ||
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=== Das Axiom der Dreiecksungleichung === | === Das Axiom der Dreiecksungleichung === | ||
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::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br /> | ::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br /> | ||
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear. | ::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear. | ||
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=== Definitionen und Sätze === | === Definitionen und Sätze === | ||
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::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> | ::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> | ||
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Es gelten die folgenden Sätze: | Es gelten die folgenden Sätze: | ||
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===== Beweis von Satz II.3: ===== | ===== Beweis von Satz II.3: ===== | ||
Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen? | Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen? | ||
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= Strecken und Halbgeraden = | |||
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===Aufgabe=== | ===Aufgabe=== | ||
Aktuelle Version vom 15. Mai 2012, 11:53 Uhr
Der Abstand zweier Punkte
Die ersten beiden Abstandsaxiome
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten und gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl mit .
Definition II.1: (Abstand)
- Der Abstand zweier Punkte und ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten und zugeordnet werden kann.
Schreibweise: .
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte und gilt .
Aufgabe
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte und für die gilt:
a) = 4, = 3, = 5
b) = 2, = 3, = 5
c) = 1, = 2, = 5
Das Axiom der Dreiecksungleichung
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte und gilt:
- Falls , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind , und kollinear.
Definitionen und Sätze
Definition II.2: (Zwischenrelation)
- Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt:
- Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt:
- und
- , und sind paarweise verschieden.
- Schreibweise:
Es gelten die folgenden Sätze:
Satz II.1
- Aus folgt .
Satz II.2:
- Aus folgt .
Satz II.3
- Es sei mit sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder oder oder .
- Es sei mit sind paarweise verschieden.
Beweis von Satz II.3:
Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
Strecken und Halbgeraden
Aufgabe
Definieren Sie:
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
- Definition (Halbgerade ): ......(ergänzen Sie)
- Definition (Halbgerade ): ......(ergänzen Sie)
